Cf admet I(p ; q) comme centre de symétrie si f(p+a) + f(p-a) = 2q

Ici, avec p=1 et q = -1, on a:
Cf admet I(1 ; -1) comme centre de symétrie si f(1+a) + f(1-a) =-2

f(1+a) = 1 +a - 2 + (4/(1+a-1))
f(1+a) = a - 1 + (4/a)

f(1-a) = 1- a - 2+ (4/(1-a-1))
f(1-a) = -a - 1 - (4/a)

f(1+a) + f(1-a) = a - 1 + (4/a) - a - 1 + (4/a)
f(1+a) + f(1-a) = -2

Et donc le point I(1 ; -1) est bien centre de symétrie de Cf.
---------
Autrement:
Par translation, on remet l'origine du repère sur le point qui est
censé être centre de symétrie de Cf.

f(x)=x-2+  [4/(x-1)]
y = x-2+  [4/(x-1)]

poser:
X = x - 1  -> x = X + 1
Y = y + 1  -> y = Y - 1

Y - 1 =X + 1 - 2 + [4/(X+1-1)]
Y - 1 =X - 1 + (4/X)
Y = X + (4/X)

f(X) = X + (4/X)

f(-X) = -X + (4/(-X))
f(-X) = -X - (4/X)
f(-X) = - [X + (4/X)]
f(-X) = -f(X)
f(X) est donc une fonction impaire et sa courbe représentative à l'origine
du repère (X=0 et Y=0) comme centre de symétrie.
-> le point (0 ; 0) dans le repère (X , Y)

Remis dans le système d'origine
y = Y - 1 = 0 - 1 = -1
x = X + 1 = 0 + 1 = 1

Dans le repère initial, le point (1 ; -1) est centre de symétrie de Cf
---------
J'espère que cela t'aidera à comprendre.

voila je comprends pas comment tu as trouvé -2? parce que
"f(1+a) + f(1-a) = a - 1 + (4/a) - a - 1 + (4/a)
f(1+a) + f(1-a) = -2"
les "a" s'annulent, les "-1" donnent -2 mais "4/a+4/a" sa s'anule pas ?
moi j'ai le meme probleme :
il faut demontrer un centre de symetrie A(1;-1); avec f(x)=(^x-3x+6)/x-1
et je trouve au final : f(1+a)+f(1-a) = ^a-a+4+^a+a+4
                                      = 2^a+8 ??

escusez moi j'avais pas trop compris comment on utilisé les carré
voila je comprends pas comment tu as trouvé -2? parce que
"f(1+a) + f(1-a) = a - 1 + (4/a) - a - 1 + (4/a)
f(1+a) + f(1-a) = -2"
les "a" s'annulent, les "-1" donnent -2 mais "4/a+4/a" sa s'anule pas ?
moi j'ai le meme probleme :
il faut demontrer un centre de symetrie A(1;-1); avec f(x)=(x²-3x+6)/x-1
et je trouve au final : f(1+a)+f(1-a) = a²-a+4+a²+a+4
                                      = 2a²+8 ??

c'est plus la peine de vous cassez la tete j'ai trouvé mon erreur ! en faite j'ai oublié que le resultat était une fraction ayant comme denominateur a et -a
c'est pas trés explicite mais bon ....