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Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire

Posté par
Shad
23-09-06 à 14:20

Bonjour,
Je viens vous demander de l'aide sur une question d'un devoir maison à rendre pour lundi niveau 1èreS.
Le sujet de ce DM porte sur les fonctions paires et impaires, j'ai réussi à répondre à toutes les questions sauf la dernière dont voici l'énoncé :

Citation :
Plus généralement, montrer que toute fonction f définie sur peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.


La question d'avant portait sur des exemples, il fallait écrire sous forme de somme d'une fonction paire et impaire une fonction donnée, mais là n'est pas le problème, je bloque sur la démonstration du cas général :

J'ai commencé à faire cela :

Soit u une fonction paire :

u(x)=u(-x)=\frac{2u(x)}{2}=\frac{2u(-x)}{2}=\frac{u(x)+u(-x)}{2}

Soit v une fonction impaire :

Même méthode j'obtiens : v(x)=\frac{v(x)-v(-x)}{2}

Après je ne sais pas trop quoi en faire

J'ai commencé à écrire :

u(x)+v(x)=\frac{u(x)+u(-x)}{2}+\frac{v(x)-v(-x)}{2}

En fait j'ai recherché sur ce forum et j'ai trouvé la bonne formule mais je n'arrive pas à la reproduire, les sujets de devoirs des personnes qui devaient aussi demontrer ce cas général donnaient déjà les formules de la focntion paire et de la fonction impaire qu'il fallait juste additionner mais là ce n'est malheureusement pas mon cas. J'ai essayé de me rapprocher au plus de cette formule et maitnenant je suis bloqué et je n'arrive pas à caser f(x).

Merci d'avance pour votre aide.
Shad.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-06 à 14:28

Bonjour
Supposons que f=u+v, avec u paire et v impaire. Alors f(x)=u(x)+v(x) et f(-x)=u(-x)+v(-x)=u(x)-v(x).
Il est facile d'en tirer u et v en fonction de f.

Posté par
Shad
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-06 à 14:58

Désolé mais je n'ai pas compris ce que tu veux dire :
A quoi me sert l'égalité : f(-x)=u(x)-v(x) ?
En fait je ne vois pas du tout comment procéder pour répondre à la question, j'avoue avoir entrepris des démarchs un peu à l'aveuglette et je ne suis en aucun cas sur de moi, je ne vois pas comment je peux réussir à transformer l'expression jusqu'à ce que l'égalité soit explicitement montrée.
Merci quand même à vous Camélia mais est-ce que vous pourriez s'il vous plait essayer de m'expliquer d'une autre façon ou alors déjà est-ce que ce que j'ai fais est utile et/ou sert à quelquechose ?

Et dans ce sujet : Parité d un fonction
Comment ont-ils réusi à exprimer la fonction paire et la fonction impaire à partir de f(x)

Merci d'avance à ceux et celles qui me répondront ainsi qu'à ceux et celles qui m'ont déjà répondu.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-06 à 15:00

Eh bien, tu continues:
f(x)+f(-x)=2u(x) et f(x)-f(-x)=2v(x).

Posté par
Shad
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-06 à 15:26

MERCI BEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUPBEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUPBEAUCOUP BEAUCOUP BEAUCOUP !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Tout s'est éclairé maintenant !

En fait j'avais pas pigé qu'on devait admettre que f=u+v pour pouvoir trouver ces deux dernières et seulement ensuite vérifier la que l'égalité était juste.

Désolé de vous avoir importuné pour si peu et merci encore.
Shad.

Posté par
Leopardo
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-09 à 12:50

Bonjour, excusez moi de remonter un aussi vieu topic, mais est-ce que quelqu'un pourrait m'expliquer clairement en quoi la reponse donnée par Camélia montre que toute fonction définie sur R est la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire?

Merci beaucoup!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-09 à 14:23

f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2}

La première fraction est une fonction paire et la seconde une fonction impaire.

Posté par
Leopardo
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-09 à 14:49

Merci pour la réponse rapide!
Mais quel est le lien avec f(x)+f(-x)=2u(x) et f(x)-f(-x)=2v(x) ?
Merci, si ce n'est trop demander.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-09 à 15:02

Il suffit de poser f(x)=u(x)+v(x) en imposant u paire et v impaire. On a alors le système

f(x)=u(x)+v(x)
f(-x)=u(x)-v(x)

qui permet de trouver u et v.

Posté par
Leopardo
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 23-09-09 à 16:02

Ah, d'accord!

Merci beaucoup

Posté par
Charbonn
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 15:17

Bonjour,
Je m'excuse de remettre à jour ce vieux sujet, mais j'ai moi aussi un dm contenant cette question, et je ne comprends absolument pas vos réponses. Si quelqu'un avait la gentillesse de me l'expliquer plus en détail avant ce soir... Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 15:38

Décidément il ressort tous les ans... Je ne vois pas trop que dire de plus...

On écrit f(x)=u(x)+v(x) avec des fonctions inconnues u et v et on suppose u paire et v impaire. Alors f(-x)=u(-x)+v(-x)=u(x)-v(x).

Donc \{u(x)+v(x)=f(x)\\ u(x)-v(x)=f(-x) et on fait la somme et la différence de ces égalités!

Posté par
Charbonn
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 16:32

Merci d'être aussi rapide !
Ah oui, il y avait quelque chose également que je n'avais pas compris en lisant cette expression : f(-x)=u(-x)+v(-x)=u(x)-v(x).
Je ne comprends pas comment u(-x)+v(-x) peut être égal à u(x)-v(x)... pour v(-x), ok mais je ne vois pas comment u(-x) peut se retrouver égal à u(x)...

Je n'ai toujours pas le déclic mais merci quand même, je vais essayer d'y réfléchir.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 16:55

Si u est paire, on a bien u(-x)=u(x), non?

Posté par
Charbonn
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 19:11

Aaaaah ok! Ca y est, je commence à voir!
Merci beaucoup!

Posté par
Stey
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 19-09-10 à 20:41

Bonjour, en fait j'ai exactement le meme DM a faire, et je ne comprend pas ce que je dois faire après, avec le système...

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 20-09-10 à 14:05

Le résoudre... Il y a une solution complète plus haut!

Posté par
Rissi
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-09-10 à 18:36

Excusez moi de vous Rederangez
mais comment est-ce qu'on sait que les fractions la haut sont : la premiere fction paire la 2eme impaireee??! merci de repondre Avant ce soir si possible

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-09-10 à 14:15

Et bien, tu vérifies que l'une est paire et l'autre impaire!

Posté par
helenou19
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 12-10-11 à 20:40

Bonjour, est ce quelqu'un pourrait m'expliquer comment résoudre le système ?
Merci d'avance !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 13-10-11 à 14:34

Tiens encore une apparition!

Comme d'habitude, fais la somme et la différence des deux équations!

Posté par
helenou19
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 13-10-11 à 15:57

J'ai essayé mais je n'aboutie a rien .. Que suis-je censé trouver ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 13-10-11 à 16:05

As-tu bien tout relu? Il y a la solution complète le 19-09-10 à 15:38. Tu sors u et v de ce système!

Posté par
helenou19
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 13-10-11 à 16:18

En rassemblant toutes les données on obtient si je ne me trompe pas ceci :

f= u + v avec u paire et v impaire
Alors f(x)= u(x)+v(x) et f(-x)=u(x)-v(x)

Donc on a le système : u(x) + v(x) = f(x)
                       u(x) - v(x) = f(-x)
Si l'on fait la somme et la différence on obtient :
f(x) + f(-x)= 2u(x) et f(x) - f(-x)= 2uv

Est ce suffisant pour montrer qu'il s'agit de la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire ? Je ne comprend pas en quoi cela le montre.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 14-10-11 à 14:10

Arrivé ici, tu t'aperçois que si u et v existent, nécessairement

u(x)=(f(x)+f(-x)/2 et v(x)=(f(x)-f(-x))/2

Tu vérifies que cette u est paire, cette v est impaire et f=u+v

Posté par
tebba
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 24-07-17 à 10:13

Bonjour,  
la décomposition est-elle   unique??

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 24-07-17 à 15:22

Bonjour tebba (ça faisait longtemps que je n'avais pas revu cet exo!)

Oui, la décomposition est unique. En cherchant u paire et v impaire dont la somme soit f, on les a trouvées explicitement (par exemple dans le post juste au dessus du tien) en fonction de f, d'où l'unicité.

Tu peux aussi supposer que u+v=u'+v' avec u,u' paires et v,v' impaires. Alors la fonction paire u-u' est égale à la fonction impaire v-v' et la seule fonction paire et impaire est...

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 00:38

Bonjour , désolé de reprendre ce vieux sujet , on a commencé par supposé que f(x)=u(x)+v(x) tel que u(x) est paire  et v(x) est impaire , on a pas le droit de supposer cela non ?

Posté par
jsvdb
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 01:28

Ce topic ressort même la nuit ... en catimini !

Bonjour solidad01.
En maths, tu as le droit de tout supposer tout ce que tu veux. Le tout c'est de ne pas te contredire.
Donc si tu supposes f = u + v avec les parités telles qu'attribuées, alors tu vas avoir les formes nécessaires de u et v. Il restera à vérifier que ces formes nécessaires sont suffisantes.

Donc le schéma de démonstration est le suivant (analyse-synthèse, je crois !)

Si f = u + v avec parité imposée, alors u et v sont nécessairement de telle et telle forme.
Inversement, en prenant u et v de la forme trouvée, on vérifie les parités et que leur somme fait bien f.
On conclut.

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 13:40

enfaite je suppose que u est paire et v est impaire , apres je trouve u(x)=(f(x)+f(-x))/2

et v(x)=(f(x)-f(-x))/2 , cela prouve t il que f est la somme d'une fonction paire et une fonction impaire ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:07

Tiens, le revoilà!
Oui, après avoir vérifié que la u et v que tu as trouvées sont bien paire et impaire.

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:16

mais enfaite , j'ai eu u(x)=(f(x)+f(-x))/2 en supposons au début que u(x) est paire , donc je n'ai rien fait

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:18

Si, tu as montré qu'il n'y a qu'une possibilité pour u et v. Ce que tu trouves est convenable, ou alors il n'y a pas de solution. Il se trouve qu'ici c'est convenable!

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:20

et donc j'ai montré l'unicité , et pour ça j'ai supposé que u est paire et v impaire, mais je n'ai toujours pas montré que c'est la somme de deux fonctions paire et impaire ?.

Je vois comme ça la question : je dois poser f(x)=g(x)+h(x) on connait pas la parité des deux fonctions , et on doit trouver à la fin que g est paire et h impaire , c'est faux ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:26

Non, ça ne marche pas comme ça. Il y a des tas de manières pour écrire f comme somme de deux fonctions, une seule donne une impaire et une paire.

Oublie un peu cet exo. Essaye de trouver deux nombres entiers m et n tels que m+n=2 et 3m+n=5.

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 29-03-18 à 14:33

le système n'a pas de solutions dans Z non ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 15:37

Reprenons...

En effet, il n'y a pas de solution entière. Pour le voir, tu as résolu le système, vu qu'il n'y a qu'une solution et que celle-ci ne convient pas.
C'est exactement ce qu'on fait pour f. On résout le système, on regarde si ça marche... et ici ça marche!

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 15:54

mais quel système on a résolu ? on a supposé qu'une fonction s'écrit sous forme de deux fonctions paire et impaire , donc on a supposé le resultat , et apres on a écrit les deux fonctions sous une autre forme

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:05

Le système
 (\forall x\in\R) \begin{cases}
 \\   f(x)=u(x)+v(x)  \\ 
 \\   u(x)=u(-x)  \\ 
 \\   v(x)=-v(x)  
 \\ \end{cases}
 \\

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:09

l'inconnu ici c'est u(x) et v(x) ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:09

Les inconnues sont les fonctions u et v.

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:12

et pour u(x)=u(-x) et v(x)=-v(x) on les a supposé ? et quel résultat doit on trouver ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:16

Oui, on les demande. On a alors f(-x)=u(-x)+v(-x)=u(x)-v(x), d'où

u(x)=(f(x)+f(-x))/2 et v(x)=(f(x)-f(-x))/2

Oh, miracle, les fonctions ainsi trouvées sont bien une paire et l'autre impaire.

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:22

enfaite dans mon exercice , j'avais 2 questions avant celle ci :

1) J'ai montré que (P,+,.) est un espace vectoriel réel ( P est l'ensemble des fonctions paires )

2) J'ai montré que (I,+,.) est un espace vectoriel réel ( I est l'ensembles des fonctions impaires ).

3) C'est la question qui est identique à celle de ce sujet : Montrez que chaque élement de F(R,R) s'écrit  sous forme unique , comme somme d'un élément de P et un élément de I.

La rédaction de la réponse sera la même ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:25

Oui, ça ne change rien. Je suppose que dans la suite on te demandera de montrer que

F=P\oplus I

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:27

heu non , c'est la dernière question , et  merci beaucoup!!!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:28

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:31

enfaite on peut direct remarquer que f(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}+\frac{f(x)+f(-x)}{2}

on pose u(x)=.... et v(x)=.... et c'est fini non ?

Posté par
solidad01
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 30-03-18 à 16:32

ah mais non , pour montrer que c unique on fait ce que vous avez dit au début !! c'est bon j'ai tout pigé meerciii

Posté par
interpol
re : Toute fonction sur IR = fonction paire+ fonction impaire 31-03-18 à 14:32

Bonjour,


Je propose le résumé suivant:f(x) une fonction réelle sur IR ,nous pouvons
partager la fonction en partie paire  et impaire   ,cela conduit à:
                                                                                exemple:  
    f(x)=                                                              1 +x + x2
partie paire         =  \frac{f(x)}{2}+\frac{f(-x)}{2}     =1     +     x2

partie impaire  =  \frac{f(x)}{2}- \frac{f(-x)}{2}       =           x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
   TOTAL                      f(x)                               = 1 + x + x2


Alain

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