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transformation
Bonjour,
voila j'ai un petit problème avec mon DM de maths
Soit f l'application de C\{0} dans C\{0} définie par f(z)=1/z
1) quelle est la nature de la transformation géométrique associée à f ?
2) soient A,B,C les points d'affixes respectives -1/2, -2i et -1/2-2i.
pour la question 1) je pense que c'est une translation.
mais je ne suis pas sur car le Z de ( 1/z ) cela me parait étrange.
pourriez vous m'éclairer s'il vous plait ?
Oui, une translation est bien une application de la forme :
alors dans ton cas, si c'est une translation, que vaut b ?
Tu as écris :
a=1/z et b=0
Que veut dire a = 1/z ? où apparait ce a dans la définition d'une translation ?
On dit qu'une fonction est une translation, si il existe
tel que :
Il n'y a pas de a dans la définition d'une translation. Le seul paramètre d'une translation est le nombre complexe . On dit d'ailleurs que
est une translation de vecteur
(ou dans la direction
).
La question que tu dois te poser est, existe-t-il un nombre complexe tel que :
si c'est le cas : f est une translation
si ce n'est pas le cas : f n'est pas une translation.
La question n'est pas de le trouver mais de savoir s'il existe... Si l'équation est vérifiée pour tous les complexes z alors on aura en particulier :
pour z=1, b+2 = 0
pour z=-1, -b+2=0
n'y aurait-il pas un problème ?
Comme habits aujourd'hui ? Essaye de faire des phrases avec des compléments, c'est dur de te suivre...
on a z² + bz + 1 = 0
pour z=1, b+2 = 0
pour z=-1, -b+2=0
et vous me demandez si il y a un problème j'en ai aucune idée si il y a un problème.
Bonjour,
tringlarido veut te faire prendre conscience que si tu donnes une valeur à b, alors l'équation
n'admettra une solution que pour deux valeurs de z (les racines du polynôme).
Or, pour que la transformation du départ soit une translation il faudrait qu'après avoir fixé b, TOUTES les valeurs de z vérifient l'équation. Ce n'est pas le cas. Ce n'est donc pas une translation.
ok mais je ne vois pas ce que sa pourrait être car nous avons juste vu les translations avec le prof pour le moment, il nous a donné un DM sans même un cours ...
Voilà comment se comporte ton application f 
Au feeling, je dirais qu'il s'agit de la composée d'une réflexion d'axe (Ox) avec une symétrie par rapport au cercle de centre O et de rayon 1.
On retrouve bien deux points fixes : 1 et -1
Es-tu sûr de ton énoncé ?
Quelle est la question 2 ?
la question 2) est soient A,B,C les points d'affixes respectives -1/2, -2i et -1/2-2i.
déterminer leurs images A',B' et C' par cette transformation.
alors c'est quoi comme transformation 1/z ?
d'accord c'est donc une symétrie.
je dois donc mettre le cercle de centre 0 de rayon 1 et je fais la transformation de A',B' et C'
Ce n'est pas une symétrie !
Si c'était une symétrie centrale, f admettrait un unique point fixe : le centre de symétrie.
Si f était une symétrie axiale (ou réflexion), f admettrait une infinité de points fixes :les points de la droite de symétrie.
Ton application f admet que deux points fixes !!! (les points d'affixe 1 et -1)
ça ne peut être non plus ni une translation (0 point fixe), ni une rotation(1 point fixe), ni une homothétie (1 point fixe).
Je n'ai pas plus creusé mais je pense sérieusement à une symétrie par rapport à un cercle (notion assez particulière) composée avec une réflexion d'axe (Ox).
Je ne pense pas pouvoir t'aider plus : désolé
Oui, oui c'est bien ça. C'est une composition de deux reflexions...
qui est l'inversion de cercle unité et de
qui est l'inversion de droite réel.
Toute cette géométrie est unifiée dans la géométrie de la droite complexe...
Ouf !
Merci tringlarido 
Ma-tt tu trouveras une "définition" de la symetrie par rapport à un cercle sur le lien suivant
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