f '(x) = cos(x) + 2sin(2x)

f '(x) = cos(x) + 4.sin(x).cos(x)

f '(x) = cos(x).(1 + 4sin(x))

f '(x) = 0 pour cos(x) = 0 ...
et pour sin(x) = -1/4 ...
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Pour obtenir sin(2x) = 2sin(x).cos(x) :

On part de sin(a+b) = sin(a).cos(b) + sin(b).cos(a)

et on prend a = b = x.

On a donc directement: sin(2x) = 2sin(x).cos(x)
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Sauf distraction.  

Bonjour.
Connais-tu la formule : sin(a+b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) ? Alors en remplaçant a et b par x tu as la formule sin(2x) = 2sin(x)cos(x). Je pense qu'il faut la connaître par coeur car elle est très utile. En ce qui concerne la dérivée, que ce soit pour cet exercice ou pour d'autres, il est préférable de garder : f '(x) = cos(x) + 2sin(2x) et de factoriser car ce ne sont pas les racines les plus importantes, mais le signe. Ici, f '(x) = cos(x)[1 + 4sin(x)]. Ensuite tu étudies les signes des deux facteurs : cos(x) et 1 + 4sin(x). Tu as interêt à faire un cercle trigonométrique pour chacun.
cordialement RR.

Je ne connaissais pas cette règle merci , mais si j'avais sin(3x) au lieu de sin(2x) , je pourrai pas remplacer a et b par x , çà me ferait 2x au lieu de 3x ...

Oui, mais sin(3x) = sin(2x + x)

sin(3x) = sin(2x).cos(x) + cos(2x).sin(x)

sin(3x) = 2sin(x).cos(x).cos(x) + cos(2x).sin(x)

Et avec cos(a+b) = co(a).cos(b)-sin(a)sinb)
il vient cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

sin(3x) = 2sin(x).cos(x).cos(x) + sin(x).(cos²(x) - sin²(x))

sin(3x) = 3sin(x).cos²(x) - sin³(x)

sin(3x) = 3sin(x).(1-sin²(x)) - sin³(x)

sin(3x) = 3sin(x)- 4sin²(x)

sin(3x) = sin(x).(3- 4sin(x))

...
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Autrement dit, le calcul trigonométrique est plein de ressources.

un cube s'est transformé en carré à l'avant dernière ligne ..J-P..

ok il est pleins de ressources comme tu dis le calcul trigo , encore faut il en faire tous les jours pour être aussi à l'aise que toi JP , tu résouds les exercices de physique et de maths avec une facilité déconcertante , je serai curieux de connaitre ton niveau d'études ...

sinon pour en revenir au problème , je dois donc résoudre maintenant :

cos x = - 4 sin x cos x

est ce que je peux prendre comme valeur x = 0 ?

je dirai non car cos 0 = 1 et dans l'égalité çà ne marcherait pas ..

je fais donc :

1 = -4sin x
sin x = -1/4

çà me donne le sinus de x , mais pas la valeur de x , en gros je vois pas du tout comment trouver les valeurs de x

Oui, tenir compte de la rémarque de Nofutur2.
...
sin(3x) = 3sin(x)- 4sin³(x)
sin(3x) = sin(x).(3- 4sin²(x))

cos x = - 4 sin x cos x

cos(x).(1+4sin(x)) = 0

Soit cos(x) = 0 --> x = Pi/2 + k.Pi
Soit sin(x) = -1/4 --> x = arcsin(-1/4) + 2kPi et x = Pi - arcsin(-1/4) + 2kPi.

Tu peux alors trouver toutes les valeurs de x sur une période du graphe de la fonction pour lesquels la dérivée s'annule ...

Sauf distraction.  

la période c'est 2pi , donc à mon avis j'ai comme valeurs de x :

x = pi/2 et x = (3/2)pi

pour x = arcin de -0.25 je trouve -14.47 , bizarre , enfin le truc avec les arcsin là je comprends pas du tout .

ATTENTION, la calculette en mode radian.

Soit cos(x) = 0 --> x = Pi/2 + k.Pi

Soit sin(x) = -1/4 --> x = arcsin(-1/4) + 2kPi et x = Pi - arcsin(-1/4) + 2kPi.

x = arcsin(-1/4) + 2kPi
x = -0,252680255142 + 2kPi
--> la valeur dans [0 , 2Pi] est x = -0,252680255142 + 2Pi = 6,03050505204

x = Pi - arcsin(-1/4) + 2kPi.
x = pi + 0,252680255142 + 2kPi
--> la valeur dans [0 , 2Pi] est x = pi + 0,252680255142 = 3,39427290873

La dérivée s'annule dans [0 ; 2Pi] pour :

x = Pi/2 = 1,57079632679
x = 3,39427290873
x = Pi/2 + Pi = 3Pi/2 = 4,71238898038
x = 6,03050505204
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Sauf distraction.  

bon ben encore merci JP , j'ai juste une dernière petite question :

quand on cherche une valeur de x , quand est ce qu'on écrit +kpi et quand est ce qu'on écrit +2kpi ?

Bonsoir , j'ai une toute petite equation :

sin(x) - cos(2x) = 0

alors moi naif comme je suis j'ai fait :

sin(x) = cos(2x)

cos(x - pi/2) = cos(2x)

x - pi/2 = 2x

-pi/2 = 3x

x = -pi/6 , alors en traçant la courbe on voit bien que je me suis planté royalement , je ne souhaite pas la réponse s'il vous plait , je souhaite savoir pourquoi la méthode que j'ai employé a échoué , j'essayerai de me corriger moi même , merci .

*** message déplacé ***

Je ne suis pas sûr (étant en 3ème) mais est ce que

Bonsoir!
Bah... déja pour passer de x- pi/2 = 2x à -pi/2 =3x...je vois pas trop comment...parcequ'il faut soustraire x donc ca revient plutot à -pi/2 = x...De plus,cos(a)=cos(b) n'équivaut pas à a=b...contre exemple:cos(pi/3)= cos(-pi/3) et pi/3 -pi/3

*** message déplacé ***

J'oubliais!

et est-ce sur que

Est-ce qu'on a le droit d'enlever le cos() quand cos(x)=cos(y)()


*** message déplacé ***

Non on a pas le droit d'enlever le cos! et non x-pi/2 n'est pas égale à 2x pour tout x...mais il est possible de trouver x tel que x-pi/2 = 2x....ex: x=3pi/2

*** message déplacé ***

Salut apprenti,

sin(x) - cos(2x) = 0
<=> sinx - 1 + 2sin²x = 0
<=> 2 X² + X - 1 = 0  avec X = sinx
...


*** message déplacé ***

exact tiroux , et tu as un indice pour trouver cette valeur de x , je sais déjà que je peux pas enlever les cos ...

donc à partir de çà :

sin(x) = cos(2x) , tu me conseilles de faire quoi ?

réecrire sin(x)  ? non je viens de le faire

mais bien sur , je mettais trompé de tracé avec mn logiciel , pour çà que je cafouillais aussi , mais je ne connais pas ta règle pgeod qui permet d'écrire ceci :

sin(x) - cos(2x) = 0
<=> sinx - 1 + 2sin²x = 0

pourquoi ne pas faire çà :

l'équation proposée équivaut à cos 2x = cos (pi/2 - x) , donc x est solution si il existe k entier relatif tel que :

2x = pi/2  - x + 2kpi

ou k' entier relatif tel que :

2x = -pi/2 + x + 2k'x

je trouve S = pi/6 + 2kpi/3 et -pi/2 + 2kpi

Oui, apprenti, ce que tu écris est tout aussi juste.

Tu remarqueras même que : S = pi/6 + 2kpi/3 et -pi/2 + 2kpi
peut s'écrire tout simplement pi/6 + k 2pi/3 (k réel),
car les valeurs pi/2 + k 2pi y sont déjà comprises.

...