Les points O,T, et A sont alignés. TRIA est un trapèze, les côtés
[RT] et [AI] sont parallèles.
La bissectrice de l'angle ATR est sécante en N avec la bissectrice
de l'angle TAI et en E avec la bissectrice de l'angle TRI.
La bissectrice de l'angle RIA est sécante en G avec la bissectrice
de l'angle TAI et en L avec la bissectrice de l'angle TRI.

1) Démontrer que les angles OTR et TAI sont de même mesure.
     En déduire que les angles RTA et TAI sont supplémentaires.

2) Démontrer que les angles ATN et NAT sont complémentaires.

3) Démontrer que l'angle TNA est droit.
     En déduire la mesure de l'angle GNE.

4) En vous aidant des questions précédentes, démontrer que l'angle
GLE est droit.

5) Démontrer que les points G, L, E, et N appartiennent au même cercle
dont on précisera le diamètre.


Tentative de réponse: car cet exercice me pose des soucis. Merci pour votre
aide.

1) Les angles OTR et TAI sont de même mesure:

Nous savons qur TRIA est un trapèze ayant ses deux côtésparallèles.
Que O, T, et A sont trois points alignés.
Que la bissectrice de l'angle TAI est sécante avec celle de l'angle
ATR.
De par la définition des bissectrices , nous savons que c'est la
droite qui partage deux angles égaux.
L'angle TAI appartient au tarpèze TRIA et l'angle OTR est extérieur
au triangle.
Il apparait que se sont des angles de secteurs aigus et que les angles
formés par deux parallèles et une sécante sont égaux , tous les secteurs
aigus sont équiangles.

Nous pouvons dire que les angles OTR et TAI sont de même mesure.  


Les angles RTA et TAI sont supplémentaires:

Nous venons de voir que les angles OTR et TAI étaient de secteur aigus.
Par conséquent RTA et TAI appartiennent à deux secteurs dont l'un
est aigu et l'autre obtus. Ils ne sont donc pas équiangles mais
supplémentaires. Leur somme égale un angle plat: O, T, et A sont
alignés.


2° Les angles ATN et NAT sont complémentaires:

Nous savons que N est la sécante de la bissectrice de l'angle ATR
avec la bissectrice de l'angle TAI, soit les deux bissectrices
forment un angle droit en N, par conséquent les  angles ATN et TNA
sont complémentaires car ils forment un angle droit en N. Leur somme
forme un angle droit.

3) L'angle TNA est droit:

Nous venons de le démontrer?


La mesure de l'angle GNE:

La bissectrice ATN est sécante en N avec la bissectrice de l'angle
TAI et en E avec la bissectrice de l'angle TRI  et la bissectrice
de l'angle RIA est sécante en G avec la bissectrice de l'angle
TAI.

Les bissectrices sont opposés en leur sommet deux à deux.
?


4) L'angle GLE est droit:

Il existe une symétrie dans le trapèze lors de la division des angles
par les bissectrices. Il s'agit de rencontres de bissectrices
  de secteurs opposés dont L forme un angle droit.
?

5) G,L,E et N  appartiennent au même cercle:

? L'intersection est le centre de gravité du trapèze.

Le diamètre est [NL] et [GE]