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triangle equilateral et nombres complexes
on c que: le nbre complex j=e^i2pi/3
j^2=j bar =1/j
j^3=1
1+j+j^2=0
1+j=e^ipi/3
le plan complexe muni d'1 repere orthonormé direct (O, 
, 
)
Etan donnes des points A,B,C d'affixe respective a,b,c demontrer
l'equivalence entre:
(i) ABC est equilateral direct
(ii) a-b = (1+j)(c-b)
(iii) a+bj+cj^2 = 0
Bonjour quand même 
Voià un petit peu d'aide pour t'aider à résoudre ce problème
:
Si ABC est un triangle équilatéral direct, alors il existe une rotation
de centre O et d'angle 2
/3 telle que :
r(A) = B
r(B) = C
et
r(C) = A
Ce qui se traduit à l'aide des complexes par :
a - zO = j(c - zO)
b - zO = j(a - zO)
c - zO = j(b - zO)
En soustrayant les deux premières équations, on a :
a - b = j(c - a)
A l'aide de la première et troisième équation, on obtient :
c - a = j(b- c)
Donc :
a - b = j(c - a) = j²(b - c)
Or, on sait que :
1 + j + j² = 0, donc :
j² = - 1 -j
On en déduit que :
a - b = -(1+j)(b - c)
= (1 + j)(c - b)
relation (ii)
Si on a
a - b = (1 + j)(c - b),
alors : a - b = c(1+j) - b(1 + j)
On en déduit donc que :
a + bj + cj² =
a + bj - c(1 + j)
= a + bj - a + b -b(1 + j)
= 0
c'est la relation (iii)
Voilà donc un petit peu d'aide, bon courage ...
ok merci beaucoup
mais comment demontrer que ABC est un triangle equilateral?direct?
merci d'avance
Je n'arrive pas a comprendre d'ou viennent les relations
a - zO = j(c - zO)
b - zO = j(a - zO)
c - zO = j(b - zO)
==> pourquoi j(c-z0]) ?
salut
en reponse a dRfELL.
soit R une rotation d'angle a et de centre C d'affixe c.
soit un point M d'affixe z et soit M' l'image de M par la rotation R.
alors z'-c=[exp^(ia)]*[z-c]
revenons en a l'exo :
oceane a ecris :
Si ABC est un triangle équilatéral direct, alors il existe une rotation de centre O et d'angle 2/3 telle que :
r(A) = B
r(B) = C
et
r(C) = A
jusque la tu es d'accord ?
puis il suffit de prendre ce que j'ai marqué au début de mon post :
on obtiens :
a - zO = j(c - zO) car r(C)=A
b - zO = j(a - zO) car r(A)=B
c - zO = j(b - zO) car r(B)=C.
voila.
soit R une rotation d'angle a et de centre C d'affixe c.
soit un point M d'affixe z et soit M' l'image de M par la rotation R
==> tu ne parles pas de j la dedans et il intervient dans
a - zO = j(c - zO)
juqu'avant ca j'ai compris mais la je vois toujours pas :/
bien sur la 1° est évidente mais la 2° moins... ca ressemble beaucoup a ce probleme sauf qu'ils ne demandent pas l'étape II
dRfell.
j'ai ecris
soit R une rotation d'angle a et de centre C d'affixe c.
soit un point M d'affixe z et soit M' l'image de M par la rotation R
ceci est un cas general, une formule qui normalement est dans ton cours.
maintenant il faut l'appliquer. pour cela on prend a partir de cette formule :
R=r. a=2pi/3 C=O donc zc=z0.
et pour M=C on prend M'=A.
donc z'-c=[exp^(ia)]*[z-c]
devient a-zO=exp(2iPi/3)*(c-zO)
or exp(2iPi/3)=j
donc a-zO=j*(c-zO)
meme chose pour les 2 autres formules.
a+
ah merci je n'avais pas vu que Zc <=> Z0
ah au fait. les moderateurs,webmasters et correcteurs
n'apprecient pas les scans d'exo.
il est demandé d'ecrire les exo.
petite remarque : le C dans mon cas general n'est pas le C dans l'exo.tout le monde l'aura remarqué...
ok desole je ne le savais pas.
on ne peut pas éditer les messages pour enlever mon scan ?
l'angle de la rotation ca ne devrait pas etre /3 = 60° plutot ?!
non car le centre de la rotation n'est pas un sommet du triangle.
ici peu importe de savoir quel est le centre O.
car dans les equations ce n'est qu'un parametre.
mais pour que tu comprennes mieux je vais te le dire.
la rotation definie par oceane "envoie" A sur B, B sur C et C sur A.
O est le centre de la rotation donc il est lui meme son image par cette rotation
du fait qu'une rotation est une isometrie (conservation des longueurs),et que
r(A)=B et r(O)=O
on a OA=OB => O est sur la mediatrice de [AB]
de meme comme r(B)=C et r(O)=O donc OB=OC => O sur la mediatrice de [BC]
meme chose pour r(C)=A et r(O)=O donc OC=OA => O est sur la mediatrice de [AC].
O est sur les 3 mediatrices de [AB],[BC],[AC]
il est a l'intersection de ces 3 mediatrices.
ce point est bien connu en geometrie : c'est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.
normalement on peut conclure que l'angle (AOB) (qui est l'angle de la rotation) vaut 2*Pi/3 (d'apres une propriete vue en troisieme (ou en seconde) :
3 points ABC sont sur un cercle de centre 0 l'angle (ACB)=1/2*angle(AOB).
si tu ne te souviens pas de cette propriete on peut faire comme ca :
on est dans un triangle particulier : ABC est equilateral. donc O qui est l'intersection des mediatrices est aussi celui des medianes (et des hauteurs) et des bissectrices et bissectrices,medianes,mediatrices...sont confondues respectivement.
donc angle(ABC)=angle(ABO)+angle(OBC)=Pi/3
comme (BO) bissectrice angle(ABO)=angle(OBC)
ce qui conduit a angle(OBC)=Pi/6
on a vu que OA=OB donc ABO est isocele en O.
donc angle(OCB)=angle(OBC)=Pi/6
or angle(OCB)+angle(OBC)+angle(BOC)=Pi
donc angle(BOC)=Pi-angle(OCB)-angle(OBC)=Pi-Pi/6-Pi/6=2Pi/3
je n'ai pas utilise les angles orientes.le raisonnement est le meme sauf qu'il faut faire attention au sens.je ne les ai pas utilise car le raisonnement aurait ete trop long (deja qu'il l'est bien assez) et les ecritures lourdes. en plus, difficile d'expliquer ce genre de choses a l'ecrit sans schema (meme si maintenant il y a moyen d'en inserer).
voila. le mieux fais un schema visualise ce que je viens de dire.
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