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Niveau quatrième
Triangle et cercle
Posté par jérémy (invité)
Soit ABC, un triangle tel que:
AB = 10.4 cm
AC = 9.6 cm
BC = 4 cm
) Faire la figure
2) Démontrer que ABC est un triangle rectangle
3) Soit D, le point du segment [AB],tel que AD = 7.8 cm
Le cercle C de diamètre [AD]recoupe le segment [AC] en E
Quelle est la nature du du triangle AED? Justifier
4) Démontrer que les droites ( BC) et ( DE ) sont parallèles.
5) Calculer DE
2) Démontrer que le triangle ABC est rectangle:
Pour démontrer que ce triangle est rectangle, nous devons vérifier si
la somme des carrés des côtés de l'angle droit est égal ausomme
carré de l'hypothénuse, soit appliquer le théorème de Pythagore.
Ors nous ne savons pas si ce triangle est rectangle
DFonc , nous allons appliquer la réciproque du théorème de Pythagore pour
vérifier si le carré du plus long côté est égal à la somme des carrés
des deux autres côtés.
Soit:
AB² = AC² + BC²
10.4 ² = 9.6² + 4²
108.16 =92.16 + 16
108.16 =108.16
L'égalité est vérifiée.
Donc le triangle ABC est un triangle rectangle en C , CQFD
avec l'application de la longuer des côtés.
3) Nature du triangle AED:
Nous savons que D est un point du segment [AB] tel que AD = 7.8 cm
que le cercle C de diamètre [AD] recoupe le segment [AC] en E
Tel qque E est un point distinct de A et de D. ET AED forme un triangle
inscrit dans le cercle C de diamètre [AD]. Alors l'angle AED
est droit.
L'angle AED est droit et le triangle AED est rectangle en E, c'est le
théorème du triangle inscrit dans un cercle.
4) Démontrer que les droites (BC) eet( DE) sont parallèles:
Nous savons que le triangle ACB est rectangle en C
AED est rectangle en
E
Alors nous pouvons dire que BC est perpendiculaire à AC
AE est perpendiculaire
à DE
Dans le triangle ACB, E est un point du côté [AC] et D est un popint du
côté [AB] tel que:
AE / AC = AD / AB = ED CB
Donc la droite ED est parllèle à la droite CB, telle est la propriété
de la droite parllèle à un côté.
Les droites (BC) et ( DE) sont donc parallèles.
5) Calculer DE:
Si AE / AC = AD / AB = ED/ CD
Nous pouvons appliquer:
AE / 9.6 = 7.8 / 10.4 = ED / 4
AE / 9.6 = 0.75
AE = 0.75 * 9.6
AE = 075 cm Tel que AE / AC = 7.2 / 9.6 = 0.75
0.75 = ED / 4
0.75 * 4 = ED
3 cm = ED Tel que ED / BC = 3/4 = 0.75
L'égalité précédemment écrite est vérifiée.
Donc DE = 3 cm
Merci pour vos corrections.
Bonjour,
la question 2 est mal rédigée :
si on veut utiliser la réciproque du théorème de Pythagore, il faut
calculer séparément AB² puis AC²+BC² et ensuite vérifier que AB²=AC²+BC².
La question 4 ne peut pas se faire avec ta méthode.
Pour conclure, il faut utiliser la propriété suivante :
si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième alors elles
sont parallèles entre elles.
Pour la dernière question, il faut donc utiliser la propriété de Thalès
(ou propriété des trois rapports égaux) en précisant les données
:
un triangle ABC, E appartient à [AC] et D appartient à [AB] et (ED)
parallèle à (BC).
Il est ensuite inutile de calculer AE (non demandé dans l'énoncé).
Tu sembles avoir compris le principe de l'exercice. Il faut maintenant
faire des efforts pour la rédaction. 
@+
Posté par jérémy (invité)re : Triangle et cercle
Bonjour,
Merci pour votre aide.
Pour résumer: le n°2 est correcte en employant par étape la réciproque
du théorème de Pythagore.
le n°3 est correcte. il n'y a pas de commentaires.
le n°4 doit peut-être inclure en plus de
BC perpendiculaire à AC et AE perpendiculaire à DE
que: BC est perpendiculaire à AC
et DE est perpendiculaire à AC
Puis que si deux droites sont perpendiculaires à une troisième alors elles
sont parallèles entre elles.
le n°5 en utilisant thalès mis en fait dans le n°4, serait correcte.
Merci d'avance pour cette bonne suite.
La question 3 pourrait être rédigée de la manière suivante :
On sait que E appartient au cercle de diamètre [AD].
Le triangle AED est inscrit dans le cercle de diamètre [AD].
Or si un triangle a pour sommet les extrémités d'un diamètre d'un
cercle et un point de ce cercle alors il est rectangle en ce point.
Donc AED est rectangle en E.
Mais il faut suivre la rédaction que ton professeur a dû te donner.
Dans la question 4), il faut effectivement supprimer toute la partie utilisant
le théorème de Thalès, ce qui est inutile ici.
La question 5 est à préciser au niveau des données à indiquer.
Bon courage.
@+