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Niveau troisième
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Triangle et othocentre

Posté par
PAPILLON06
26-10-17 à 21:03

    Bonsoir,

J'ai un problème sur le sujet suivant: ABC est un triangle. [AA'],[BB'] et [CC'] sont les hauteurs de ce triangle et se coupent en H.
a) démontrez que les triangles HA'B' et HBA sont semblables
b)En déduire que HA  x  HA'=HB  x  HB'=HC  x  HC'

Si quelqu'un pouvez m' aider..... Merci par avance

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 21:54

Bonjour,

les angles inscrits dans le cercle de diamètre [AB] permettent de justifier que les triangles HA'B' et HBA ont leurs angles deux à deux égaux

Triangle et othocentre

justifier pourquoi B' et A' appartiennent à ce cercle d'abord.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 22:16

Re-bonsoir,

Merci Mathafou pour votre réponse très claire.
Cependant, malgré de gros efforts, j'ai du mal à justifier pourquoi B' et A' appartiennent à ce cercle.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 22:22
Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 22:56


D'accord!!
Et l'angle BHA et l'angle AHB' sont donc opposés par leur sommet.

Puis-je déduire de tout ça que les deux triangles étant semblables, leurs cotés sont proportionnels deux à deux et que donc HA  x   HA' = HB  x HB'  =  HC  x  HC' ?

Posté par
mathafou Moderateur
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 23:07

c'est ça.

si tu n'oublies pas de justifier par les angles inscrits que \widehat{HA'B'} = \widehat{ABH} et donc que les triangles sont semblables (leurs angles sont égaux deux à deux) et donc leurs cotés sont proportionnels deux à deux etc
l'absence du donc en rouge entre "semblables" et "côtés proportionnels" laissait planer le doute sur ton raisonnement

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 26-10-17 à 23:13

  Merci infiniment Mathafou, j'ai bien compris. Passez une bonne nuit

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 14:05

Bonjour,
Lors de la rédaction de la solution du problème, je me suis aperçu que je n'avais qu'une seule égalité : AH/HB' = BH/HA'  qui me permettait seulement de conclure que HA x HA' = HB x HB'.
Merci de me mettre sur la voie

Posté par
Priam
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 14:40

Il faudrait que tu trouves deux autres triangles semblables ayant les segments HC et HC' pour côtés.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 15:00

Si je choisis C'HB' et BHC, les angles C'B'B  et  C'CB interceptent-ils l'arc BC ?

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 15:03

Je voulais dire l'arc BC'

Posté par
Priam
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 15:07

Où vois-tu un arc BC ?
Par ailleurs, ces deux triangles sont-ils semblables ? Ce n'est pas évident.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 15:16

Les angles C'CB et C'B'B inscrit dans le cercle de diamètre [BC] interceptent le même arc
BC'. De plus les angles C'HB' et BHC étant opposés par leur sommet.
Si deux triangles ont deux angles deux à deux de même mesure alors ces triangles sont semblables. Qu'en pensez-vous?

Posté par
Priam
re : Triangle et othocentre 27-10-17 à 15:31

D'accord.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 28-10-17 à 17:40

Bonsoir,
Les angles inscrits n'étant plus au programme, je dois trouver une autre solution pour cet exercice

ABC est un triangle. [AA'],[BB'] et [CC'] sont les hauteurs de ce triangle et se coupent en H.
a) démontrez que les triangles HA'B' et HBA sont semblables
b)En déduire que HA  x  HA'=HB  x  HB'=HC  x  HC'

Si quelqu'un pouvez m' aider..... Merci par avance

Posté par
Priam
re : Triangle et othocentre 28-10-17 à 22:15

a) Je crois qu'on peut répondre sans angles inscrits en démontrant d'abord que les triangles BC'H et CB'H sont semblables, ainsi que les triangles AC'H et CA'H.

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 28-10-17 à 23:09


Merci pour ta réponse Priam; j'ai réussi à démontrer ce que tu as indiqué mais je n'arrive pas à conclure.....
Peux tu m'aider ?

Posté par
Priam
re : Triangle et othocentre 29-10-17 à 09:01

A partir de ces triangles semblables, on peut écrire
BH/C'H = HC/HB'
AH/C'H = HC/HA' .
En réunissant ces deux égalités, on a
BH/HA' = AH/HB' .
Les côtés issus de H des triangles HA'B' et HAB sont donc proportionnels.
De plus, les angles A'HB' et AHB sont égaux comme étant opposés par le sommet. Mais peut-on encore dire cela en troisième ?

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 29-10-17 à 09:16

Merci Priam pour ta réponse, mais cela reste obscure pour moi

Posté par
PAPILLON06
re : Triangle et othocentre 29-10-17 à 09:48


Bonjour,
Je suis en troisième et je suis à la recherche de piste pour résoudre l'exercice suivant avec des acquis de troisième.
ABC est un triangle. [AA'],[BB'] et [CC'] sont les hauteurs de ce triangle et se coupent en H.
a) démontrez que les triangles HA'B' et HBA sont semblables
b)En déduire que HA  x  HA'=HB  x  HB'=HC  x  HC'

Si quelqu'un pouvez m' aider..... Merci par avance



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