Bonjour.
Je pense que tu peux utiliser les propriétés des homothéties.
Considère d'abord l'homothétie de centre A qui transforme X' en Y' (son rapport est égal à AY'/AX').
On peut montrer facilement qu'elle transforme X en Y et qu'elle transforme E en F (pour cela quelques pistes : l'image d'une droite par une homothétie est une droite parallèle à cette droite, l'image d'un segment est un segment donc la longueur est multiplié par le rapport de l'homothétie , utilise aussi le fait que YF/XE = (2/3 YY')/(2/3 XX') = YY'/XX'...)
Comme l'image de E est F par cette homothétie (de centre A), on en déduit que A, E et F sont alignés. (*)

En considérant maintenant l'homothétie qui transforme Y' en B, on montre comme précédemment que l'image de F par cette homothétie est G.
On en déduit que A,F,G sont alignés.(**)

De (*) et (**), on en déduit que E, F et G sont alignés.
J'espère t'avoir donné quelques pistes ...

merci mais il y a pas une autre méthode sans l'homothétie (j'ai pas encore fait c'est dans le programme de 1ère j'crois).

On peut avec thalès non?

On peut en utilisant Thalès et les vecteurs.
Je rédige la solution ...

Dans le triangle AY'Y, le théorème de Thalès permet d'affirmer que :
AY'/AX'=AY/AX=YY'/XX'
J'appelle k ce rapport.

On a donc vect(AY')=k vect(AX')
vect(AY) = k vect(AX)
vect(YY')=k vect(XX')
On sait de plus que vect(XE) = 2/3 vect(XX')
De même vect(YF) = 2/3 vect(YY')

Montrons que les points A,F,E sont alignés.
pour cela on va montrer que les vecteurs AF et AE sont colinéaires.

On a vect(AF) = vect (AY) + vect(YF) (chasles)
en remplaçant = k vect(AX) + 2/3 k vect(XX')
= k vect (AX) + k vect(XE) (puisque vect(XE) = 2/3 vect(XX'))
= k (vect(AX)+vect(XE))
=k vect(AE)
Donc AF = k vect(AE)
ce que l'on voulait montrer.

Les points A,F et E sont donc alignés.

On montre de la même façon que les points A,F, G sont alignés.

Voilà !

ok merci beaucoup Pat51100 j'ai tout compris grace à toi!