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Niveau seconde
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Triangle rectangle et cercle

Posté par Guillaume (invité) 08-11-03 à 16:43

Voici l'énoncé de 2 problèmes et mes réponses : Est-ce correct
??

Problèmes :


1°) Dessiner un triangle ABC rectangle en A et placer O le milieu de
l'hypoténuse [BC].
Construire le point A' symétrique de A par rapport à O.

Quelle est la nature du quadrilatère ABA'C ? Justifier
Que peut-on en conclure pour le cercle circonscrit au triangle rectangle
ABC ?

2°) Tracer un cercle (C) de centre O et un diamètre [MP] de ce cercle.
Placer un point A sur (C) et le symétrique A' de A par rapport au point
O.

Quelle est la nature du quadrilatère  ? Justifier.
En déduire la nature du triangle AMP.

Vous avez démontré 2 propriétés concernant les triangles rectangles et
les cercles circonscrits. Les énoncer.

VOICI MES REPONSES :

1°) le quadrilatère ABA'C est un rectangle.
O est le milieu de [BC] donc BO=OC. Les 2 points A et A' sont
symétriques par rapport au point O. Donc AO=OA'.
Les diagonales du quadrilatère ont donc la meme longueur et le quadrilatère
a un angle droit donc le quadrilatère ABA'C est un rectangle.
On peut conclure que le cercle circonscrit à ABC à pour centre O et
qu'il est aussi le cercle circonscrit du rectangle ABA'C.

2°) Les quadrialtère AMA'P est un rectangle.
Si,dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un diamètre
(ici [MP]), et un autre point du cercle (ici A) alors le triangle
est rectangle en ce point. Donc AMP est un triangle rectangle.

le point A' est le symétrique du point A par rapport au point O,
le centre du cercle (C).
Donc [AA'] est un diamètre de (C) de meme que [MP] donc [AA']
= [MP]
Le quadrilatère AMA'P a donc des diagonales de meme longueur et
il possède un angle droit donc AMA'P est un rectangle.


2 propriétés concernant les triangles rectangles et les cercles circonscrits
vu dans l'exercice :

1  -Si,dans un cercle, un triangle a pour sommets les extrémités d'un
diamètre , et un autre point du cercle  alors le triangle est rectangle
ence point.

2 - ??????????????????????????????????

Voilà merci bcp de me répondre

Posté par zlurg (invité)re : Triangle rectangle et cercle 09-11-03 à 12:14

1°) tu écris : "Les diagonales du quadrilatère ont donc la meme
longueur et le quadrilatèrea un angle droit donc le quadrilatère
ABA'C est un rectangle"

" de même longueur", ce n'est pas sûr, et si c'était le
cas, cela suffirait pour prouver qu'il s'agit d'un
rectangle ( il n'y aurait pas besoin d'ajouter " et un
angle droit")
Non, ici, ce que t u peux prouver d'après les données, c'est
que les diagonales se coupent en leur milieu,il s'agit donc
d'un parallèlogramme, et il a un angle droit, donc rectangle.

Ensuite on peut conclure que le cercle circonscrit à ABC a pour diamètre
[BC]

2°) Ici, ce qui me gène, c'est que j'ai l'impression que
tu utilises le théorème que l'exercice essaie justement de prouver,
alors "ça"l'fait pas"

En fait tu prouves que les diag ont même longueur donc c'est un
rectangle, donc AMP est un triangle rectangle

d'où les deux propriétés prouvées

1) l'exercice prouve que :si un triangle est rect, l'hypot
est diam de son cercle circonscrit
2) l'exercice prouve que :Si,dans un cercle, un triangle a pour
sommets les extrémités d'un diamètre , et un autre point du
cercle  alors le triangle est rectangle en ce point.

Posté par Guillaume (invité)re : Triangle rectangle et cercle 09-11-03 à 14:16

Merci  Zlurg !



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