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Niveau quatrième
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triangle semblable

Posté par
clemsou
02-01-18 à 18:55

Bonjour
je suis bloqué pour mon DM j'aurai besoin d' une aide précieuse.
Soit ABC un triangle et E un point de AB tel que AB = 1/3 AB la droite parallèle à BC coupe AC en F.
Montrer que l'aire de AFE est égal à 1/9 de l'aire de BC(Mais j ai du mal).
J'ai démontré que AE / AB = AF / AC = EF/BC = 1/3.
j ai aussi montré que ABC et AEF sont semblable.
Merci

Posté par
ilyass59
re : triangle semblable 02-01-18 à 19:14

Bonjour,

une petite erreur : AB = 1/3 AB !!! plutôt AE  égal à 1/3 AB , t'as oublié aussi  de préciser  que la droite qu'est parallèle à BC et coupe AC en F elle passe forcément par E !

Dans un premier temps , essaye  de tracer la hauteur de ce triangle passant par le sommet A et perpendiculaire à (BC) .

Posté par
clemsou
re : triangle semblable 03-01-18 à 23:18

Merci pour votre message et je m'excuse d'avoir mal écrit l'énoncé
tout ce que vous m'avez dit je l'ai fait mais ce qui me bloque je n'arrive pas à démontrer que l'aire de AEF soit égale à 1/9 de ABC. j'ai démontrer que BAC = EAF car les triangles ABC et AEF ont en commun l'angle A alors on sait aussi que f est un point de la droite AC et E et un point de la droite AB donc ils sont homologues alors les longueurs des côtés opposés à l'angle A sont proportionnels le rapport k = 0,33<1 donc FAE et la réduction de ABC.

Posté par
clemsou
re : triangle semblable 04-01-18 à 01:47

J ai fait un triangle rectangle donc les triangles rectangles semblables ont leur aires proportionnelle aux carrés de leur hypothènuses donc AEF à pour hypothènuse AE =1/3 de AB donc AE au carré=1/9???

triangle semblable

Posté par
ilyass59
re : triangle semblable 04-01-18 à 17:32

j'ai deux remarques:

remarque 1:  je te conseille de construire un triangle quelconque donc pas forcément un triangle rectangle

remarque 2: la hauteur que je t'ai demandé de tracer elle passe par le sommet A et non par C  ( celle que t'as tracé elle passe par C  ), de plus elle est  perpendiculaire à (BC) .cette droite on va l'appeler (D)

maintenant il y a deux manières pour résoudre cet exercice :

méthode 1:

maintenant je suppose que (D) est bien tracée ! on va considérer que (D) coupe ( EF) en un point qu'on appellera H', et (BC) en un point qu'on appellera H.

tu reprend la même démonstration citée précédemment :

clemsou @ 03-01-2018 à 23:18

j'ai démontrer que BAC = EAF car les triangles ABC et AEF ont en commun l'angle A alors on sait aussi que f est un point de la droite AC et E et un point de la droite AB donc ils sont homologues alors les longueurs des côtés opposés à l'angle A sont proportionnels le rapport k = 0,33<1 donc FAE et la réduction de ABC.



pour démontrer que AEH' et ABH  sont semblables

ou bien tu peux utiliser directement le théorème de Thalès : AE/AB=AH'/AH= 1/3

donc AH= 3 AH' ( c'est cette égalité qui va nous permettre de débloquer la situation et répondre à la question )

on appelle S l'aire de ABC= hauteur x base/2  = AH x BC /2   ( relation(1))

on appelle S' l'aire de AEF= hauteur x base/2  = AH' x EF /2   ( relation(2))

clemsou @ 02-01-2018 à 18:55

l).
J'ai démontré que  EF/BC = 1/3.

donc on fait : relation (1) / relation (2) :  S/S'= [AH x BC /2 ]/[AH' x EF /2]  
                                                                                    =(3AH' x 3EF)/(AH' x EF)

                                                                                   = 9
S/S'=9 ou S'/S = 1/9 ce qui implique : S'= (1/9) S

méthode 2:

cette méthode a l'avantage d'être  simple et efficace  mais elle dépendra de la propriété
suivante ( donc je sais pas si vous l'avez abordé en classe ou pas!!)  :

Si deux triangles sont semblables de rapport de similitude k alors le rapport de
leurs aires vaut k^2

Autrement dit :
soient ABC et A′B′C′d'aires respectives S et S' :
si ABC et A′B′C′sont semblables de rapport k alors S = k² S'

si on l 'applique à notre cas ! avec  ( k=1/3)  on obtient Aire(AEF)= (1/3)² Aire(ABC)
                                                                                                                                               =(1/9) Aire(ABC)

Posté par
clemsou
re : triangle semblable 06-01-18 à 00:06

Je vous remercie pour votre réponse cela ressemble un peu à ce que j'ai montrer avec un triangle rectangle mais vous avez raison je vais faire comme vous l'avez dit mais nous n'avons pas encore vu cette méthode en classe toutefois merci pour vos explique  j'ai compris merci encore bonne soirée.

Posté par
ilyass59
re : triangle semblable 06-01-18 à 00:14

de rien! bonne soirée.

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