Bonsoir !

J'ai des difficultés à quelques exercices pour mon DM que je dois rendre demain ( oui, je procrastine ! ). Avant toute chose, vous allez trouver étranges les questions qui vont suivre : effectivement, ce sont des révisions sur les cercles inscrits/circonscrits que mon professeur a absolument tenu à faire, c'est pour ça que j'hésitais à mettre ça en cinquième...

Voici les différents énoncés qui me posent problème ( chaque énoncé est distinct et n'a aucun lien avec le précédent ex : le petit 2) n'a rien à avoir avec le 1) ) :
1) Prouver que, dans un triangle équilatéral, les centres des cercles inscrit et circonscrit aux triangles sont confondus.
2) a) Tracer un cercle de centre O et de rayon 6 cm. Placer un point B sur ce cercle et tracer le cercle de diamètre [OB]. b) Que peut-on dire de ces deux cercles ?
J'ai trouvé la réponse au petit b), rien de très sorcier, les triangles sont tangents l'un à l'autre. Cependant, mon professeur m'a demandé de justifier ma réponse, et tout de suite je bloque ! Je joindrai une figure faite sur géogébra à cet énoncé au bas du message pour le clarifier ( enfin, si j'y arrive... ).
3) Soit un triangle ABC quelconque. On a placé un point K sur le côté [AB] de ce triangle. Soit I le centre du cercle inscrit dans le triangle CAK et J le centre du cercle inscrit dans le cercle CBK. Démontrer que le triangle IJK est rectangle en K. A cet exercice, je joindrai également un fichier ggb. Je pense avoir trouvé la réponse à l'exercice, mais j'ai un gros doute et j'aimerais une confirmation :
.On sait que ABC est un triangle quelconque. K appartient au côté [AB]. I est le centre du cercle inscrit au triangle ABC et J est le centre du cercle inscrit au triangle KCB.
.Donc [KI) est la bissectrice de l'angle A^KC ( je ne peux pas mettre d'accent circonflexe sur les consonnes, en l'occurrence ici le K ) et [KJ) est la bissectrice de l'angle C^KB.
.(AB) est une droite
.Donc A^KB = 180°.
.Donc A^KB = A^KI + I^KC + C^KJ + J^KB ( si vous ne comprenez pas cette ligne, ne vous inquiétez pas je joindrai une image ).
      180° = A^KI + I^KC + C^KJ + J^KB
.Or C^KJ = J^KB ( parce que [KJ) est la bissectrice de C^KB ) et A^KI = I^KC ( parce que [KI) est la bissectrice de A^KC ).
.Donc 180° = A^KI + I^KC + C^KJ + J^KB
      180° : 2 = C^KI + C^KJ
      90° = C^KI + C^KJ
.C^KI + C^KJ = I^KJ = 90°
.Donc KIJ est un triangle rectangle en K.
Je voulais donc savoir si cette démonstration était bonne.

Merci d'avance !