Je n'y ai pas beaucoup réfléchi mais:

Je pense qu'il y a une erreur d'énoncé.

Il y a probablement une condition qui manque sur le triangle ABC (par
exemple qu'il est équilatéral).

Si on n'impose rien sur ce triangle, cela ne va pas.

Exemple, on prend ABC triangle rectangle isocèle en A, dans ce cas H est confondu
avec A, le triangle PQR est plat, 2 sommets confondus en A et le
3 ème au milieu de [BC].
Pas question ici que H soit le centre du cercle inscrit du triangle PQR.

On peut trouver une multitude de triangles qui ne collent pas avec l'énoncé.
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A vérifier car je n'y ai pas vraiment passé de temps.

En fait j'ai un dessin que j'ai du mal à reproduire ici,
mais le triangle est quelconque: ni rectanle, ni isocele, ni equilateral.
En fait, le titre de l'exercice est trajectoire de lumière.
Je crois que ça veut démontrer plus ou moins ce qui se passe dans
un kaléidoscope

il faut montrer que les triangles ABC et AQR sont semblables:
avec formule trigo ds triangle ACR on a:AR=AC cos Â
de même,AQ=AB cos Â
donc (AQ/AB)=(AR/AC) et Â=Â donc 2triangles sont semblables

comme ils sont semblables,
angle(ARQ)=angle(C) (*)     et angle(AQR)=angle(B)

on montre pareil que ABC et PBR sont semblables et ABC et PQC semblables
il faut écrire de nouveau les égalités d'angles
en particulier on a:  angle(BRP)=angle (C)
d'où avec (*), angle (BRP)=angle(ARQ)

angle(BRC)=90-angle(BRP)=90-angle(ARQ)=angle(QRC)
donc (RC) est la bissectrice de l'angle(PRQ)

il suffit de faire pareil pour les 2 autres bissectrices
j'espère que j'ai été assez clair.

C'est un exercice difficile présenté tel quel pour un élève de 2nd!

Merci beaucoup : les triangles semblables, ça me semble une bonne
piste.

J'arrive facilement à démontrer que  ABQ ARC semblables que APC BQC semblables,
que ABP BRC semblables.

Par contre ABC semblable à PBR et à PQC, je ne comprends plus .Il faut
dire qu'apparemment, on n'a pas mis les memes lettres au
meme endroit.

Moi j'ai mis les lettres comme ça:


                                                 A



                             R                                  
  Q



             B                              P                    
                      C


Si vous pouviez me donner encore un petit coup de main. Je sens que
nous ne sommes plus très loin...
Merci de toutes façons...

Oups, pour l'emplacement des lettres, ce n'est pas tres
brillant. Donc j'ai:

A en haut
B à gauche en bas
C à droite en bas
R entre A et B
Q entre A et C
P entre B et C

Merci encore d'avance pour votre aide

Maintenant on me dit qu'il faudrait que j'utilise le théorème
indiquant qu'en considérant un arc de cercle AB, quelque soit
le point M choisi appartenant au cercle l'angle MAB est fixe.
Ce théorème semble séduisant pour pouvoir reconnaître deux angles identiques,
mais ce que je ne sais pas c'est en considérant deux points
qui limiteraient l'arc de cercle, comment être sûr (comment
démonter ) que les deux points que je choisirais pour utiliser le
théorème sont sur le même cercle?

Bon, merci à ceux qui m'ont aidé.
Nous avons réussi à nous en sortir en utilisant conjointement les triangles
semblables et le théorème sur l'arc de cercle et la mesure de
l'angle inscrit. En fait, il fallait considérer 3 couples de
4 points: ARHQ, BRHP QHPC, remarquer que chaque quadruplet était
sur le même cercle (dans un triangle rectangle, l'hypoténuse
correspond à un diamètre du cercle circonscrit et on considère deux
triangles rectangles avec hyptenuse commun donc cercle circonscrit
commun). Ensuite on choisit judicieusement l'arc de cercle,
on compile les égalités d'angle avec chaque quadruplet de points
et à a la fin, on arrive à démontrer  que chaque angle de PQR est
bien coupé en 2 par une bissectrice correspondant à une hauteur de
ABC. Par théorème, les bissectrices d'un triangle concourt en
un point correspondant au centre de son cercle circonscrit.

Ca nous a pris toute la journée mais bon... l'honneur est sauf...

Merci encore de votre aide.