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Niveau seconde
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triangles semblables

Posté par
missilia
26-02-07 à 19:11

Bonsoir,besoin d'un coup de pouce,

Soit ABCD un quadrilatère inscrit dans le cercle C.
K est le point du segment [AC] tel que:l'angle ABD=l'angle KBC

a)Montrer que les triangles ABD et KBC sont semblables.
En déduire l'égamité AD*BC=KC*BD.

b)De la même façon, trouver un produit égal a AB*CD,en montrant que les triangles ABK et DBC sont semblables.

c)En déduire le théorème de Ptolémée:<<Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle alors le produit des diagonales est égale à la somme des produits des côtés opposés>>.

Je ne suis arrivé a faire que le a)
-On sait que les angles ABD et KBC sont égaux
-les angles ADB et KCB sobt 2 angles inscrits dans C qui interceptent le même arc AB, ils sont donc égaux.
-Comme la somme des angles d'un triangle est toujours égale a 180°,il suffit 2 angles de l'un des triangles soient égaux a 2 angles de l'autre pour que ces triangles soient semblables, donc les triangles ABD et KBC sont semblables.Leurs cotés sont donc proportionnels
AD/KC(=AB/KB)=DB/CB <==> AD*BC=KC*BD

Je ne sais pas si ce que j'ai fais est juste!!
aidez moi pr le b) et c) svp

Posté par
missilia
re:triangles semblables 26-02-07 à 20:16


de l'aide svp!!!

Posté par
Papy Bernie
re : triangles semblables 26-02-07 à 20:43

Bonsoir,

j'ai fait ce pb par mail pour une élève que je connais perso. je te fais un copier-coller en espérantq ue ce sont les mêmes lettres utilisées pour les sommets.

a)angle ABD=KBC (énoncé)

angle ADB=KCB : ils sont inscrits dans un cercle et interceptent le même arc AB.

Les 2 tri ABD et KBC sont donc semblables car ils ont 2 angles de même mesure.

Les 2 triangles étant semblables  donc on a :

BD/BC=AD/KC =AB/KB (On n'a pas besoin de AB/KB mais on peut l'écrire).

Note bien :     pour écrire les 3 rapports sans erreur , il faut mettre les uns sous les autres les sommets des tri. semblables dans l'ordre où ils se correspondent. En général, ils sont ds le bon ordre ds l'énoncé mais pas tjrs si le manuel veut piéger les élèves.

A..B..D
K..B..C  qui donne tout de suite : AB/KB=AD/KC=BD/BC

Fin de la note.

Dans BD/BC=AD/KC on fait le produit en croix :

AD x BC=KC x BD (1)

b)angle BAK=BDC : ils sont inscrits dans un cercle et interceptent le même arc BC.

Par ailleurs :

Angle DBC=DBK+KBC

Angle ABK=DBK+ABD mais angle ABD=KBC d'après a)

Donc angle DBC=ABK

Les triangles ABK et DBC ont 2 angles de même mesure et sont donc semblables.

A..B..K
D..B...C  (Là aussi les sommets sont déjà écrits dans le « bon ordre »)

Donc :

AB/DB=AK/DC=BK/BC (le dernier rapport ne sert pas).

Produit en croix  dans les 2 premiers rapports :

AB x CD=AK x BD (2)

c)

(1) et (2) donnent en les additionnant membre à membre :

(AD x BC) + (AB x CD)= KC x BD + AK x BD à on met BD en facteur à droite :

(AD x BC) + (AB x CD)= BD x (KC+AK)  mais KC+AK=AC donc :

(AD x BC) + (AB x CD)= BD x AC

ou :

BD x AC = (AD x BC) + (AB x CD) : et tu recopies le théorème de Ptolémée.

A+



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