salut

je ne vois nulle part où il est écrit que R contient E donc R n'est pas une tribu ...

Salut carpediem, c'est un ami qui me la dit mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi (j'ai oublié de le préciser)

Salut,

On oublie ce que disent les amis et on réfléchit.

Pour faire écho à la remarque de carpediem :

Si l'on se donne une partition d'un ensemble E, alors la famille n'est pas non plus, en général, une tribu de partie de E.

Pourquoi ? Eh bien, il faut se ramener à la définition d'une tribu et trouver un exemple simple.

E = {1,2,3,4,5,6}
T = {,{1,2},{3,4},{5,6},E}

T est-il une tribu de parties de E, sachant que la partie en rouge est une partition de E.

Salut !!

{1,2}U{3,4} = {1,2,3,4} qui n'est pas dans T donc on a pas la stabilité par union dénombrable ?

Et si tu répondais toi-même à ta question

Je pense que c'est ça mais le problème c'est qu'a chaque fois qu'on me demande un contre exemple je ne vois pas comment le trouver mais si vous me le donner j'arrive a le montrer...

Je n'ai fait aucun effort particulier.

Si on me dit "montrer qu'une partition d'un ensemble ne peut pas constituer en général une tribu de parties de E", la première chose qui me vient à l'esprit c'est :

- de prendre une partition d'un ensemble,
- de me remémorer la définition d'une tribu
- de regarder là où ça coince

point barre.

Honnêtement, cette démarche est à la portée de n'importe quel étudiant.

Vous êtes professeurs ^^
J'ai repris mes études je n'ai plus certains reflexes..
Et puis ici c'est un exemple assez simple (quand je relis votre contre exemple) parfois c'est beaucoup plus compliqué de trouvé le bon contre exemple...

En tout cas, merci j'ai bien compris

Après, on peut se tromper dans la partition :

T = {,{1,2},{3,4,5,6},E} ... ah ! zut, c'est bien une tribu ! Bah c'est pas grave, on en reprend une autre jusqu'à ce qu'on trouve.

Et donc, pour ton expérience, tu t'aperçois que partitionner un ensemble en deux parties constitue une tribu (+vide +E), mais qu'à partir de 3 parties dans la partition, c'est mort !

C'est claire quand on a le temps mais avec le stresse du temps pendant les examens, c'est tout autre chose ^^

Re jsvdb j'ai un autre petit problème dans le même exercice.

Je dois aussi montrer que Q = { An pour n dans S, avec S C } est une tribu

Je sais que E = An appartient a Q (on prends S = et c'est regler)

mais pour le complémentaire et l'union j'ai du mal.
Je prends A = An
E\A = E\ ( An) = (E\An)

C'est bien ça le début ?

Si, @carpediem, cette fois c'est juste.
Il faut juste préciser que Q.
Ce qui est vrai en prenant S = .

A tout élément de Q, on peut faire correspondre de façon univalente une partie de .
(Exemple : la partie correspond à )

Or si on prend une famille dénombrable de parties (forcément dénombrables) de , alors la réunion de cette famille est encore une partie (forcément dénombrable) de . Par suite, Q est stable par réunion dénombrable.

Si on prend une partie (forcément dénombrables) S de , S^c est encore une partie (forcément dénombrable) de . Donc Q est stable par complémentarité.

Comment tu savais qu'il fallait prendre le complémantaire de S ? c'est pas le complémentaire de l'union des An qu'il fallait prendre...?

Les éléments qui engendrent Q sont les qui forment une partition dénombrable de E.
Les vont être les éléments de Q qui vont correspondre aux singletons de .
Donc si S est de la forme alors l'élément de Q correspondant à S est .
Si , alors l'élément de Q correspondant sera .
Si alors l'élément de Q correspondant sera E.

Ce qu'il faut comprendre, c'est qu'en présence d'une partition, les complémentaires de réunions A d'éléments d'une partition P s'écrivent comme la réunion des éléments de la partition P qui ne sont pas dans A :



Prenons une exemple :

E = {1,2,3,4,5,6,7,8} et la partition P = {{a,b},{c,d},{e,f},{g,h}} avec A1 = {a,b}, A2 = {c,d}, A3 = {e,f}, A4 = {g,h}

L'ensemble des indices de A est I = {1,2,3,4}

Je prends T = {a,b,g,h} = {a,b} {g,h} = A1 A4 donc :



Alors T^c = {c,d,e,f} = {c,d} {e,f} = A2 A3 donc :

J'ai compris ton exemple mais en fait le problème c'est que d'habitude quand on passe au complémentaire et bas on prend le complémentaire de l'union des An Donc l'intersection du complémentaire des An.

et j'ai peur de confondre..

En règle générale, oui, c'est ça, mais là on travaille avec une partition. Donc les choses peuvent être simplifiées.

Et donc quand j'ai :

A^c = ( An) pour n dans S^c  ca appartient toujours à la tribu car l'union est toujours disjointe et S^c c'est en fait \S qui est encore inclus dans N?

Il me reste à faire la stabilité par union dénombrable

Soit Bp dans Q, p entier naturel, montrons que Bp dans Q pour p entier naturel
Bp = An pour n dans S

Bp pour p entier naturel = ( An pour n dans S) pour p dans

Et je ne vois pas trop ce qui se passe...? Car je sais le résultat mais c'est une "escroquerie" car je ne vois pas vraiment ce qu'il se passe

Tu as à peu près bien résumé la situation. Je vais la remettre en forme :

Notons que dans toute la suite, le fait que la famille soit une partition de E n'entre pas en ligne de compte.
On va donc considérer que la famille est une famille dénombrable de partie de E.

Je rappelle :



donc un élément B a le droit d'appartenir à Q s'il existe une partie S de telle que .

Q est donc l'ensemble de toutes les réunions possibles des éléments de la famille . Je précise que est non dénombrable.

Montrons que Q est stable par réunion dénombrable.

Soit une famille dénombrable d'éléments de . Donc est un ensemble dénombrable.
On peut très bien considérer que .

A chaque correspond donc un .

Donc, à chaque correspond une partie telle que .

Maintenant, on va réunir tous les en réunissant tous les indices p de I. Il vient donc :

.

On pose c'est-à-dire qu'on réunit tous les indices qui sont dans tous les . Ainsi, . Il vient alors :



Et donc, conformément à la définition de Q,

Je relierai ça demain a tête reposé pour voir si j'ai bien compris.
Merci beaucoup pour le temps que vous m'accordez...