Annuler
connectez vous
en post-bac
- Équations différentielles : un Cours complet avec des exemples
- Généralités sur les matrices, applications linéaires, changement de base, rang d'une matrice - supérieur
- Ensemble et application Partie II
- Un best-of d'exos de probabilités (après le bac)
- Espaces vectoriels et Applications linéaires - supérieur
Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Reprise d'études [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Reprise d'études
Tribu
Posté par Jepoti213
bonjour voici mon exercice.
I = {2k+1, k 
}
P = {2k, k }
E1 = {
, I, }
E2 = {, I, P, }
E3 = { {k}, k}
a) E1 et E2 sont-ils des tribus ?
b) Montrer que E2 = 
(E1)
c) Montrer que (E3) = P()
a)
Le complémentaire de I est P et n'appartient pas à E1 donc on n'a pas la stabilité par passage au complémentaire.
Donc E1 n'est pas une tribu.
E2
c = E2
c = E2
I2 = P E2
Pc = I E2
donc on a stabilité par passage au complémentaire
Pour tout A E2 :
A
= A E2
A = E2
I P = E2
donc on a stabilité par union dénombrable
donc E2 est une tribu.
b)
Pour montrer que E2 = (E1), on procède par double inclusion.
On remarque que E1 
E2 et E2 est une tribu donc par propriété on a directement que (E1) E2.
Il reste donc à montrer que E2 (E1).
Or on sait que E1 (E1) donc on peut essayer de montrer que E2 E1 sauf que je ne vois pas comment procéder.
En fait quand je réfléchis bien j'ai l'impression que la question est en fait évidente :
Puisque (E1) est la tribu engendré par E1, c'est donc l'intersection de toutes les tribus qui contiennent E1, c'est à dire la plus petite tribu qui contient E1 mais j'ai l'impression que justement la plus petite tribu qui contient E1 n'est autre que E2... je n'y arrive pas à le démontrer "mathématiquement parlant".
c) je sèche
Merci !
Tu ne montreras jamais que E2 est incluse dans E1, parce que c'est faux. P est dans E2 mais pas dans E1 
Cependant le reste est correct. E1 est incluse dans E2 et donc la tribu engendrée par E1 est incluse dans la tribu engendrée par E2 qui n'est autre que E2.
Réciproquement, la tribu engendrée par E1 contient au moins (E1 et) les complémentaires de tous les élements de E1. Donc elle contient au moins ∅, I, N, N=∅c, P=Ic, ∅=Nc qui forment à eux tous la tribu E2.
Donc la tribu engendrée par E1 contient au moins E2 et donc elle lui est égale
Pour la dernière question, c'est le même principe. Toute partie (dénombrable) de N n'est-elle pas la réunion dénombrable de singletons ?
Bonjour
E2 est une tribu qui contient E1. Il est impossible d'enlever un élément à E2 de sorte qu'il reste une tribu (si on enlève un des quatre éléments, on perd une des propriétés de la tribu). Donc E2 est bien la plus petite au sens de l'inclusion
On peut le voir d'une autre façon : en partant de E1, qui n'est pas une tribu, on veut en faire une tribu. On rajoute donc les éléments qui manquent aux propriétés. Le seul qui manque, c'est le complémentaire de I. On le rajoute, on obtient E2. Est-ce une tribu? Oui, donc c'est fini. E2 est la tribu engendrée par E1.
D'accord j'ai très bien compris pour la fin de la question b)
mais j'ai du mal avec la dénombrabilité je ne comprends vraiment pas..