Il te reste peu de chose pour conclure.

sina = sin(b+c)
sin(b +c) + sin(b-c) = 2 sinb cosc

C'est à dire ? cela reviens juste a tourner en rond non ?

Tu as bien dit que tu étais arrivé à établir que :
sin²(a)+sin²(b)-sin²(c) = .... =  sin(a)sin(b-c) +sin²(a)
n'est-ce pas ?

Oui exact mais il faudrai que sin(a)sin(b-c) soit égal a sin²(b) -sin²(c)

IL te reste donc à établir que :

sin(a)sin(b-c) +sin²(a) = ... =  2sin(a)sin(b)cos(c)

Pour ça tu mets sin(a) en facteur
et tu utilises les deux indications que je t'ai donné :

sina = sin(b+c)
sin(b +c) + sin(b-c) = 2 sinb cosc

Et il ne me semble pas que ça tourne en rond
puisqu'il te reste à tout casser 3 lignes à écrire.

Il y a quiproquo j'obtiens  sin(a)sin(b-c) + sin²(a) à partir de l'expression 2sin(a)sin(b)cos(c)

En faite je voudrais montrer que sin(a)sin(b-c) +sin²(a) = sin²(a)+sin²(b)-sin²(c)

Bon c'est pas ce que tu avais écrit ou laissé entendre.
Donc :

sin(a)sin(b-c) +sin²(a)
= sin(b+c) sin(b-c) + sin²(a)
------ utilise sin(p) sin(q) = 1/2 (cos(p - q) - cos(p + q))
= ...

C'est ce que j'ai fait sur mon brouillon ensuite j'ai obtenue :
sin(b+c)sin(b-c) = ... = sin²(a) - sin²(c)

Du coup en résultats final j'obtiens:
sin(a)sin(b-c) +sin²(a) = 2sin²(a) - sin²(c)
ce qui ne m'arrange pas...

Ahhh mais oui ! je crois j'ai réussi...  Du coup je remplace cos(2b) par 1-2sin²(b)

Après on peut tout simplifier par 2 et le tour et joué !

Merci de votre aide !

c'est ça.