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Trigonométrie dans un cercle, utilisation de cos et sin. (2nde)
Bonjour,
J'ai un exercice pour lundi à faire, je l'ai finit mais je ne sais pas si j'ai été assez précise, et je ne l'ai pas vraiment compris au final.
Voici l'énoncé :
On a un cercle trigonométrique dans un repère (O;I;J).
Soit M un point du quart de cercle IJ associé au réel x. On appelle N le symétrique de M par rapport à la bissectrice de l'angle IOJ.
1.Donner en fonction de x, un réel associé au point N.
2.En déduire l'expression de cos(pi/2-x) et sin(pi/2-x) en fonction de cos x et sin x.
3.En déduire l'expression de cos(pi/2+x) et sin(pi/2+x) en fonction de cos x et sin x.
Voici mes réponses :
1. IN = IJ-IM = pi/2 - x
On associe donc à N, pi/2-x.
2. N est le symétrique de M par rapport à la bissectrice de IOJ, donc :
cos(pi/2-x) = sin x
sin(pi/2-x) = cos x
3. (pi/2+x) est le réel associé au point du cercle, symétrique au point M par rapport à la droite (OJ), donc :
cos(pi/2+x) = -cos x
sin(pi/2+x) = sin x
Voilà j'aimerais savoir si elles sont justes et assez précises, et si vous pouvez, ce serait sympa de m'expliquer les question 2 et 3, je ne les ais pas entièrement comprises ..
Merci d'avance.
Salut,
Que représente x ? Quel est le centre du cercle, et son rayon ? Ton repère est-il orthonormé ?
x représente la valeur du point M, placé sur l'arc de cercle IJ
Le centre du cercle est O, de rayon OI ou OJ égal à 1 puisqu'il s'agit d'un cercle trigonométrique.
Oui, le repère est orthonormé, j'ai oublier de le préciser.
excuse moi mais "x représente la valeur du point M" ça n'a pas de sens ^^". Tu veux dire que c'est l'abscisse de M ? l'ordonnée ?
Bonjour,
x représente "l'abscisse curviligne" de M le long du cercle, la mesure de l'arc IM
c'est aussi la mesure en radians de l'angle IOM
donc on place un point M quelconque sur le 1/4 de cercle entre I et J
pour parler de cosinus et de sinus dans un cercle trigo, il faut les faire figurer explicitement
donc tracer les projections de M sur les axes
soit H la projection de M sur Ox et K la projection de M sur Oy
alors par définition du cercle trigo, OH = cos(x) et OK = sin(x)
question 1 : tu justifies que l'image N de M par la symétrie indiquée est bien sur le cercle trigo et pourquoi N est associé à pi/2 - x
(associé voulant dire l'arc IN ou l'angle ION en radians mesure pi/2 - x)
question 2 : tu fais alors pareil sur N (projections H' et K') et tu compares OH avec OK' en utilisant les propriétés géométriques de la symétrie etc .
pour la question 3 il faut imaginer quelle pourrait bien être la signification géométrique d'un point P associé à pi/2 + x
on fait alors comme pour les questions précédentes on projette P et on en déduit géométriquement les cosinus et sinus
(ce qu'à dit nobody52 pour la question 3 est faux)
PS :
pour la 3 on peut aussi changer x en -x, puis utiliser les cos(-x) et sin(-x) sur le résultat de la question 2 ("en déduire")
mais c'est "un peu une entourloupe" car ce qu'on a démontré les questions d'avant est uniquement valable pour 0 < x < pi/2 (c'est dans l'énoncé)
pi/2 + x est alors entre pi/2 et pi ! donc la démonstration n'est pas faite
il faudrait d'abord prouver que ce qu'on a trouvé comme relation sur les fonctions trigo de pi/2 - x est valable non seulement sur [0; pi/2] mais aussi sur tout le cercle trigo, donc quel que soit x dans 
:
M n'importe où sur le cercle et pas seulement sur le 1/4 de cercle
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