Voilà, j'ai un petit souci sur la partie 2 d'un exercice sur les triplets pythagoriciens,
j'espère que vous pourriez m'aider; voilà l'énoncé

Un triplet pythagoricien est un triplet (x,y,z) d'entiers naturels non nuls tels que x²+y²=z²
Objectif : Pour tout entier naturel non nul x donné, peut-on trouver y et z tel que (x,y,z) soit un triplet pythagoricien.

1.   On cherche à déterminer des triplets tels que z=y+1
a) Montrer que y et z n'ont pas de diviseur commun autre que 1
b) Exprimer x² en fonction de y, puis y et z en fonction de x.
c)En déduire l'existence d'un triplet primitif pour x impair supérieur à 1.

NB : On appelle triplet primitif n triplet (x,y,z) tels que x,y et z n'aient as de diviseurs communs

2. Sit x un entier naturel supérieur à 2
a) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x n'est pas une puissance de 2.
b) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x est une puissance de 2 supérieur à 2.

3. Que peut on conclure sur le problème posé ?
4.Déterminer un triplet pythagoricien pour x=2013 et pour x= 2014

Ou j'en suis : J'ai trouvé la 1.a mais pour le reste je reste vraiment bloqué ...

*** message déplacé ***
_{* Océane > le multi-post n'est pas toléré sur le forum ! *}

Bonjour,

y=(x²-1)/2
z=y+1=(x²-1)/2 +1

3)
si x=2*p+1
y=(4*p²+2*p+1-1)/2=2*p²+p
z=2*p²+p+1

x²=2*y+1 =2*(z-1)+1=2*z-1 donc 2*z-x²=1

z-y=1 PGCD(y;z)=1
x*x-2y=1 PGCD(x;y)=1
2*z-x*x=1   PGCD(x;z)=1
  

*** message déplacé ***

2. Soit x un entier naturel supérieur à 2
a) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x n'est pas une puissance de 2.

donc on peut écrire x= 2^p*x' avec p et x' impair > 1
et
y'=(x'²-1)/2
z'=(x'²-1)/2 +1
Donc
x=2^p*x'
y=2^p*(x'²-1)/2
z=2^p*((x'²-1)/2  +1)

*** message déplacé ***

(Lien cassé)

bizarre, je n'avais pas vu le second message .
problème du serveur ?
Bref,

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Hello,

pour amorcer la recherche.

1)a)

Imagine que y et z ont un diviseur commun d autre que 1, que penses-tu de d et z-y ?

pour quoi postes-tu deux messages avec le même sujet ?

*** message déplacé ***

Pouuulala   il y a un truc bizarre là . Salut Chatof je te laisse continuer tu es bien parti .

Salut MisterJack

b) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x est une puissance de 2 supérieur à 2.

donc x= 2^p+2 = 4 * 2^p   avec p
et comme (4,3,5) est un triplet pythagoricien alors ...

3) et 4) facile.

*** message déplacé ***

C'est bon,j 'ai réussi à faire la 1.a et b et c.
Il ne me reste plus que la 2 3 et 4.
Merci pour ta réponse Chatof mais je n'ai pas TOUT bien compris, peux tu me reexpliquer s'il te plait ?
Par ailleurs, avez vous une piste pour la 2.b ?
Merci de vos réponses !

*** message déplacé ***

Mais, vous avez tout !

Triplet pythagoricien

Je comprends mieux maintenant, mais pour la 4 avex x=2014.
Comment on peut faire ?

2014=2*1007

Quel est le triplet pour x=1007 ?

Pour 1007 :
x=1007   y=507025 et z =5072024
Donc je multiplie  par 2 et puis c est bon ?
& aussi, en fait la 2.b reste un peu obscure vraiment pour moi ...
Est-ce que tu pourrais détailler un peu plus s'il te plait ?

Donc toute la 2 en fait ...

Pour 1007 :
x=1007   y=507025 et z =5072024

Pour 2014 :
x=2*1007   y=2*507025 et z =2*5072024

et pour 4028:
x=4*1007   y=4*507025 et z =4*5072024


Pour 2⁵*1007 :
x=2⁵*1007   y=2⁵*507025 et z =2⁵*5072024


Pour 2^p*1007 :
x=2^p*1007   y=2^p*507025 et z =2^p*5072024

et pour le 2) on généralise à tous les nombres impairs

Désolé mais je comprends toujours pas la 2. :'(

2. Soit x un entier naturel supérieur à 2
a) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x n'est pas une puissance de 2.

Si on prend un nombre :
soit il est pair soit il est impair
S'il est impair grâce 1) on trouve au moins un triplet pythagoricien

s'il est pair comme 2014 on le divise par 2
et là de nouveau soit il est   pair soit il est impair
S'il est impair grâce 1) on trouve au moins un triplet pythagoricien
on multiplie ce triplet par 2 et on a un  triplet pythagoricien pour x

mais si ce nombre est encore pair on divise de nouveau par 2 (soit 4 ou 2² au total )

donc on divise par 2 jusqu'à trouver un nombre impair 3. C'est toujours possible sauf pour les puissances de 2 qui donnent 1.
Quand on a notre nombre impair  grâce 1) on trouve au moins un triplet pythagoricien que l'on multiplie autant fois par 2 pour retrouver le x avant les divisions.


donc on peut écrire x= 2^p*x' avec p et x' impair > 1  (x' impair3)
et grâce au 1):
y'=(x'²-1)/2
z'=(x'²-1)/2 +1
Donc
x=2^p*x'
y=2^p*(x'²-1)/2
z=2^p*((x'²-1)/2  +1)

exemple:
640=128*5 donc (5*128;12*128;13*128)est un triplet pythagoricien avec x=640
128=2⁷

b) Déterminer en justifiant un triplet (x,y,z) quand x est une puissance de 2 supérieur à 2.
Il n'y a pas de triplet pythagoricien pour 1=2⁰   ni pour 2=2¹

mais pour 4=2² on a le triplet pythagoricien(4;3;5)
et comme toute puissance de 2 supérieur à 2. est un multiple de 4
2ⁿ=4*2^(n-2)
alors on a au moins un triplet pythagoricien (4*2^(n-2);3*2^(n-2);5*2^(n-2))

exemple:
256=4*64 donc(4*64;3*64;5*64) est un triplet pythagoricien avec x=256