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Trouver C > 0 tel que :

Posté par
Wearefriends
05-07-15 à 19:31

Bonjour. Je suis en train de faire l'exercice suivant :

La suite (Un) avec n>=0 est définie par U0=1 et :
Pour tout n appartenant à N*, Un = U[n/2] + U[n/3] + U[n/6].

1/ Montrer que pour tout n de N, Un >= n+1

2/ Trouver C > 0 tel que : pour tout n de N,  Un =< C(n+1)


1/ J'ai fait une une récurrence car on peut remarquer que [(p+1)/m] = [(p)/m + 1/m] = [p/m] avec m = 2 ou 3 ou 6.

2/ J'ai cherché pour les premiers termes :
U0 : C >= 1
U1 : C >= 3/2
U2 : C >= 5/3
U3 : C >= 7/4
U4 : C >= 9/5
U5 : C >= 9/6
U6 : C >= 15/7
U7 : C >= 15/8
U8 : C >= 17/9

On remaruque que C >= x/(n+1)

Je ne trouve pas le numérateur. Si ce n'est au minimum 3*(n+1). Mais il n'est pas exclu que pour les prochains termes on ait un nombre plus grand encore..

Quelqu'un pourrait il m'aider ? Merci d'avance !

Posté par
Audacio
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 19:38

Salut Wearefriends.

J'ai un peu de mal avec ton expression pour la suite.
Es tu sur de ton expression ?

Ecrite comme elle est, elle n'a à mon avis pas de sens !

Posté par
Wearefriends
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 19:51

J'ai posté l'image de l'énoncé exact car je n'ai pas trouvé comment faire ces crochets.

En plus je me suis trompé pour mon 1/, je vais le retravailler/

** image supprimée **
*** lafol > image recadrée sur la figure (inexistante)

Posté par
Audacio
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 19:53

partie entière dans l'expression de ta suite?

Posté par
Wearefriends
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 19:57

Oui je pense que [x] veut dire partie entière de x

Posté par
gougnafier
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 20:26

Bonsoir,
Je n'ai rien compris à l'énoncé de cet exercice.
A quoi, u(1) est-il censé être égal ?
Et u(2) , u(3) etc. ?

Posté par
carpediem
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 20:26

salut

oui c'est un "classique" ... déjà vu sur l'ile ... ou quelque chose du même genre ....

réfléchis modulo 6 en écrivant n = 6q + r avec -1 < r < 6

...

en écrivant ce que vaut u6n, u6n + 1, ... u6n + 5

puis faire une récurrence ...

pour les deux questions avec C = 2 (ce qui semble convenir d'après tes premiers résultats)

...

Posté par
carpediem
re : Trouver C > 0 tel que : 05-07-15 à 20:28

en fait 2 ne convient pas (à cause de u_1 ...

Posté par
Wearefriends
re : Trouver C > 0 tel que : 06-07-15 à 00:31

1/ Après étude des parties entières du passage de p/x à (p+1)/x, il y a deux possibilités.
Quand on a p/x et qu'on ajoute 1/x avec x=2, 3 ou 6,
*soit la partie entière reste identique
*soit on passe à l'unité supérieure et on a alors comme partie entière (p/x) +1.
Ainsi, on a :
Un=< U(n+1) =< Un + 3

Sachant que Un >= n+1 (énoncé).

Si je veux faire une récurrence, je suis bloqué pour l'hérédité. En effet, si (Un+1) >= Un + 1 il est démontrable que Un+1 > n+1 + 1 car Un+1 >= Un + 1 >= n+1 +1.

Mais dans le cas où Un = Un+1, je ne vois pas comment faire apparaître le "+1" pour l'hérédité. J'ai seulement l'égalité suivante : Un+1 >= n+1 alors que je devrais démontrer que si Pn est vraie c'est-à-dire Un >= n+1 (HR) alors Pn+1 est vraie soit Un+1 >= n+1 +1 = n+2.

Ai-je juste jusque là ? Comment faire apparaître le "+1" svp ? Merci d'avance

Posté par
carpediem
re : Trouver C > 0 tel que : 06-07-15 à 12:56

incompréhensible sans indice ....

Posté par
carpediem
re : Trouver C > 0 tel que : 06-07-15 à 13:15

n || u
0 || 1
1 || 3
2 || 5
3 || 7
4 || 9
5 || 9
6 || 15
7 || 15
8 || 15
9 || 19

sauf erreur les premiers termes ....

je t'ai dit quoi faire ....


u_{6n} = u_{3n} + u_{2n} + u_n \\
 \\ u_{6n + 1} = u_{3n} + u_{2n} + u_n \\
 \\ u_{6n + 2} = u_{3n + 1} + u_{2n} + u_n \\
 \\ u_{6n + 3} = u_{3n + 1} + u_{2n + 1} + u_n \\
 \\ u_{6n + 4} = u_{3n + 2} + u_{2n + 1} + u_n \\
 \\ u_{6n + 5} = u_{3n + 2} + u_{2n + 1} + u_n \\
 \\ u_{6n + 6} = u_{3n + 3} + u_{2n + 2} + u_{n + 1}


soit n un entier et supposons que pour tout p \le n  :  u_p \ge p + 1

écrivons que n + 1 = 6q + r avec -1 < r < 6

alors u_{n + 1} = u_{3q + r_1} + u_{2q + r_2} + u_q  avec  r_1 \in \{0, 1, 2\}  et  r_2 \in \{0, 1\}


il est alors aisé de finir ....

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Trouver C > 0 tel que : 06-07-15 à 14:15

Bonjour,

\large \boxed{a)} une idée :

\hspace{5} \normalsize \boxed{\star} on montre d'abord que \Large \boxed{\forall n\hspace{2},\hspace{2}u_n\in\mathbb N}
 \\ .

\hspace{5} \normalsize \boxed{\star} puis à l'aide aussi d'une récurrence forte on a :

\Large \boxed{u_n=u_{[\frac{n}{2}]}+u_{[\frac{n}{3}]}+u_{[\frac{n}{6}]}\geqslant[\frac{n}{2}]+1+[\frac{n}{3}]+1+[\frac{n}{6}]+1>\frac{n}{2}+\frac{n}{3}+\frac{n}{6}=n}
 \\ sauf erreur bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Trouver C > 0 tel que : 06-07-15 à 21:18

\large \boxed{b)} Wearefriends l'a déjà bien vu : \Large \boxed{\forall n\hspace{2},\hspace{2}u_{n+1}\leqslant u_n+3}
 \\

d'où \Large \boxed{\forall n\hspace{2},\hspace{2}u_n-u_0=\sum_{k=0}^{n-1}u_{k+1}-u_k\leqslant3n}

d'où \Large \boxed{\forall n\hspace{2},\hspace{2}u_n\leqslant3n+1}

la valeur \Large \boxed{C=3} convient sauf erreur bien entendu

Posté par
Bcpicao1
re : Trouver C > 0 tel que : 09-10-20 à 16:10

Je suis désolé, mais il n'est pas vrai que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leq u_n+3, un simple graphique le prouve. Il faut faire une récurrence forte pour le 2 aussi.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Trouver C > 0 tel que : 17-12-21 à 22:48

Bonsoir

je découvre le post de Bcpicao1

et effectivement il n'est pas vrai que \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\leq u_n+3

néanmoins on peut montrer (par récurrence forte) que \forall n \in \mathbb{N^*}, u_n\leq 3n sauf erreur bien entendu



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