Bonjour. Je suis en train de faire l'exercice suivant :
La suite (Un) avec n>=0 est définie par U0=1 et :
Pour tout n appartenant à N*, Un = U[n/2] + U[n/3] + U[n/6].
1/ Montrer que pour tout n de N, Un >= n+1
2/ Trouver C > 0 tel que : pour tout n de N, Un =< C(n+1)
1/ J'ai fait une une récurrence car on peut remarquer que [(p+1)/m] = [(p)/m + 1/m] = [p/m] avec m = 2 ou 3 ou 6.
2/ J'ai cherché pour les premiers termes :
U0 : C >= 1
U1 : C >= 3/2
U2 : C >= 5/3
U3 : C >= 7/4
U4 : C >= 9/5
U5 : C >= 9/6
U6 : C >= 15/7
U7 : C >= 15/8
U8 : C >= 17/9
On remaruque que C >= x/(n+1)
Je ne trouve pas le numérateur. Si ce n'est au minimum 3*(n+1). Mais il n'est pas exclu que pour les prochains termes on ait un nombre plus grand encore..
Quelqu'un pourrait il m'aider ? Merci d'avance !
Salut Wearefriends.
J'ai un peu de mal avec ton expression pour la suite.
Es tu sur de ton expression ?
Ecrite comme elle est, elle n'a à mon avis pas de sens !
J'ai posté l'image de l'énoncé exact car je n'ai pas trouvé comment faire ces crochets.
En plus je me suis trompé pour mon 1/, je vais le retravailler/
** image supprimée **
*** lafol > image recadrée sur la figure (inexistante)
Bonsoir,
Je n'ai rien compris à l'énoncé de cet exercice.
A quoi, u(1) est-il censé être égal ?
Et u(2) , u(3) etc. ?
salut
oui c'est un "classique" ... déjà vu sur l'ile ... ou quelque chose du même genre ....
réfléchis modulo 6 en écrivant n = 6q + r avec -1 < r < 6
...
en écrivant ce que vaut u6n, u6n + 1, ... u6n + 5
puis faire une récurrence ...
pour les deux questions avec C = 2 (ce qui semble convenir d'après tes premiers résultats)
...
1/ Après étude des parties entières du passage de p/x à (p+1)/x, il y a deux possibilités.
Quand on a p/x et qu'on ajoute 1/x avec x=2, 3 ou 6,
*soit la partie entière reste identique
*soit on passe à l'unité supérieure et on a alors comme partie entière (p/x) +1.
Ainsi, on a :
Un=< U(n+1) =< Un + 3
Sachant que Un >= n+1 (énoncé).
Si je veux faire une récurrence, je suis bloqué pour l'hérédité. En effet, si (Un+1) >= Un + 1 il est démontrable que Un+1 > n+1 + 1 car Un+1 >= Un + 1 >= n+1 +1.
Mais dans le cas où Un = Un+1, je ne vois pas comment faire apparaître le "+1" pour l'hérédité. J'ai seulement l'égalité suivante : Un+1 >= n+1 alors que je devrais démontrer que si Pn est vraie c'est-à-dire Un >= n+1 (HR) alors Pn+1 est vraie soit Un+1 >= n+1 +1 = n+2.
Ai-je juste jusque là ? Comment faire apparaître le "+1" svp ? Merci d'avance
n || u
0 || 1
1 || 3
2 || 5
3 || 7
4 || 9
5 || 9
6 || 15
7 || 15
8 || 15
9 || 19
sauf erreur les premiers termes ....
je t'ai dit quoi faire ....
soit n un entier et supposons que pour tout
écrivons que n + 1 = 6q + r avec -1 < r < 6
alors avec et
il est alors aisé de finir ....
Bonjour,
une idée :
on montre d'abord que .
puis à l'aide aussi d'une récurrence forte on a :
sauf erreur bien entendu
Je suis désolé, mais il n'est pas vrai que , un simple graphique le prouve. Il faut faire une récurrence forte pour le 2 aussi.
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