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Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0

Posté par
Garp
12-09-21 à 15:47

Bonjour, je peine sur une question de mon exercice sur les démonstrations par récurrence, voici l'énoncé:

(un) est la suite définie par u0=0 et pour tout entier naturel n,
un+1 = 4 + 5un.
on a aussi la feuille de calcul ci-dessous.
a) Emettre une conjecture sur l'expression de un en fonction de n.

b) Démontrer cette conjecture par récurrence.


C'est la question a qui me pose problème, j'ai un énorme trou de mémoire et même après quelques recherches je ne me souviens plus du tout comment trouver Un en fonction de n à partir des données de l'énoncé. Si vous pouvez m'expliquer la méthode pour suggérer l'expression de Un en fonction de n, je pense que je n'aurai aucun problème pour la suite de l'exercice.
Merci d'avance.

Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0

Posté par
manu_du_40
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 15:50

Salut,

que penses tu de la suite (U_n+1) ?
Manu

Posté par
Garp
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 15:54

Elle est surement pas là pour rien mais je suis resté devant l'énoncé un bout de temps sans comprendre comment je pourrais l'exploiter pour qu'elle m'aide.

Posté par
manu_du_40
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 15:59

Appelle par exemple (v_n) la suite définie par v_n=u_n+1 .

Peux-tu exprimer facilement v_{n+1} en fonction de v_n ? Qu'en déduis-tu sur la nature de (v_n) ?

Posté par
Garp
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 16:08

Soit v_n=u_n+1
Alors v_{n+1}= u_{n+1}+1=5u_{n}+5=5v_{n}
On en déduit que (vn) est une suite géométrique de raison 5

Posté par
manu_du_40
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 16:12

Bien vu.
Et comme (v_n) est géométrique, tu as dans ton cours une expression qui te permet de trouver le terme général de cette suite.

En cas de trou de mémoire, relire cette fiche Tout ce qui concerne les suites géométriques.

Cela te donnera une expression de (v_n) en fonction de n. Tu pourras en déduire une expression de u_n en fonction de n qu'il ne te restera plus qu'à prouver par récurrence.

Bon courage, reposte si tu bloques sur la récurrence.
Manu

Posté par
manu_du_40
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 16:14

Petit point rédaction : il serait mieux d'écrire (v_n) semble être géométrique puisqu'on ne se base que sur le calcul des premiers termes pour cette affirmation.

Posté par
Garp
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 18:36

J'ai repris l'exo maintenant et je n'ai pas eu de difficultés à le finir. Merci beaucoup

Posté par
manu_du_40
re : Trouver Un en fonction de n à partir de Un+1 et U0 12-09-21 à 21:28

De rien. Bonne soiree.



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