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Niveau Maths sup
trouvez le couple de solution (m,n)
Posté par ma-t-h
on pose m²+n²=2007
trouvez le couple de solution (m,n) qui vérifie cette égalité !
indication : la parité est un élément clef dans la résolution du problème mais se n'est pas tout !
bonne chance !
merci pour votre lecture !
Bonjour,
on peut supposer que c'est dans N qu'on résoud cette équation.
Tout d'abord, 2007 est divisible par 9, donc, on pose x=3u et y=3v :
x²+y²=2007
<==> (3u)²+(3v)²=9*223
<==> u²+v²=223
m²+n² = 2007
Implique que |m| et |n| sont de parité contraire.
Posons alors |m| = 2M et |n| = 2N+1
4M² + 4N² + 4N + 1 = 2007
4M² + 4N² + 4N = 2006
2M² + 2N² + 2N = 1003
Le membre de gauche est pair et celui de droite impair ---> pas de solution.
-----
Sauf distraction. 
Citation :
sympa ton idée jamo mais sa ne te mènera a rien je pense
sympa ton idée jamo mais sa ne te mènera a rien je pense
Disons que ça réduit un peu le problème.
Pour la suite, voilà à quoi j'avais pensé :
Tout d'abord, on montre facilement que les 2 inconnues sont de parités contraires.
Alors supposons que c'est v qui est pair, c'est à dire qu'il existe w tel que v=2w.
L'équation devient alors :
u²+4w²=223 <==> u²=223-4w²
Et ensuite, il suffit d'essayer quelques valeurs de w : 0, 1, 2, 3 ... 7 et on montre que 223-4w² n'est jamais un carré, donc il n'y a pas de solution.
Bon, ma méthode marche pour de petits nombres, mais à défaut d'une autre méthode, ça permet ici de résoudre le problème !
On peut généraliser le problème en montrant qu'on n'a pas de solution pour les équations de type :
m² + n² = p (où p est congru à 3 modulo 4)
Pour cela, il suffit de voir qu'un carré n'a pour reste que 0 ou 1 modulo 4