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[TS] Encore des intégrales
Re-Bonjour.
Voici un deuxième exercice qui me pose aussi problème mais j'ai heureusement réussi à débuter!
c'est seulement quand les suites interviennent que ça commence à bloquer ^^
voici l'exercice en question :
PARTIE A
On considere la fonction nuemrique f de la variable reelle x definie sur l'intervalle [0;+inf[ par
Elle est derivable sur R*+. On note f' sa dérivée.
On note C la courbe representative de f dans le plan rapporté a un repere orthonormal.
1. Demo de cours. determiner la lim en +inf de la fonction x --> e^x/x
je l'ai fait sans problème.
2. Determiner la limite de f en +inf. interpreter graphiquement.
lim en +inf=0 donc asymptote y=0 axe des abscisses
3. pour x élément de R*+, calculer f'(x).
4. deduire des questions precedentes le tableau de variation de f.
f croissante sur [0;1/2] ; f décroissante sur [1/2;+inf[
5. tracer la courbe C.
PARTIE B
On considere la suite (Un) def pour tout entier naturel n non nul par .
1. Interpreter geometriquement Un.
Un est le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'equations x=n et x=n+1.
2. demontrer que pour tout entier n naturel non nul, f(n+1)
Unf(n).
c'est ici que ça bloque, comment faire?
3. en deduire que la suite (Un) est decroissante.
je pense qu'il suffit de mettre des integrales dans l'inequation et ça garde le sens des signes...
4. prouver la convergence de la suite (Un) et determiner sa limite.
PARTIE C
On considere la fonction numerique F de la variable aleatoire reelle x definie sur ]1;+inf[ par :
1. a) montrer que F est derivable sur son intervalle de def et calculer F'(x).
1. b) en deduire le sens de variation de F.
2. a) demontrer que pour tout reel t positif t+2
2. b) en deduire que pour tout x de l'intervalle ]1;+inf[,
2. c) a l'aide d'une integration par parties, montrer que pour tout x appartenant a ]1;+inf[ :
2. d) en deduire que pour tout x appartenant a ]1;+inf[,
3. On note pour tout entier naturel n non nul, Sn la somme des n-1 premiers termes de la suite (Un). Exprimer Sn a l'aide d'une integrale. Montrer que la suite (Sn) converge et donner un encadrement de sa limite.
Seb 
Bonsoir f est une fonction positive et decroissante donc tu as l'encadrement suivant sur [n,n+1], .Comme la longueur de l'intervalle d'intégration est 1 tu en déduis l'inégalité pour un.
oui mais f est croissante puis decroissante et non pas decroissante sur tout l'intervalle...
je ne vois pas trop ce qu'il faut faire ici, auriez-vous un autre élément à ajouter?
ok Cauchy, merci bien pour ces indications je m'y remet de suite et je vous referai signe si nécessaire 
Seb
PARTIE B
On considere la suite (Un) def pour tout entier naturel n non nul par .
1. Interpreter geometriquement Un.
Un est le domaine délimité par l'axe des abscisses, la courbe C et les droites d'equations x=n et x=n+1.
2. demontrer que pour tout entier n naturel non nul, .
f est une fonction positive et décroissante quand x>1/2 donc on a l'encadrement
3. en deduire que la suite (Un) est decroissante.
puisque f est décroissante, on a (Un) décroissante d'après l'expression précédente.
4. prouver la convergence de la suite (Un) et determiner sa limite.
lim n->+inf f(n+1)=0
lim n->+inf f(n)=0
donc d'après le théorème des gendarmes,
lim n->+inf (Un)=0
Ainsi (Un) converge et a pour limite 0.
Mes réponses sont-elles complètes et correctes pour cette partie B?
Merci à vous
Bonjour,
je ne suis pas d'accord avec ton raisonnement du 3/
donc u(n) décroissante
sinon OK pour les autres réponses.
oui c'est vrai que cette réponse me semblait trop facile à écrire
merci!
aurais-tu des indications pour la partieC à m'apporter?
et j'ai acepeté ton résultat sans me poser la question de sa justesse, comment arrives-tu à ce resultat pour U(n+1)-Un ?
mais ensuite?
puis-je dire :
"comme f est décroissante et que les intervalles [n;n+1] et [n1;n+2] sont de même longeur,
U(n+1) < Un
et donc U(n+1) - Un < 0
(Un) est alors décroissante."
j'ai fait un changement de variable.
je change
u=t-1 donc t=u+1 et si t=n+1 alors u =n si t=n+2 alors u =n+1
et dt=du
donc
K.
merci beaucoup pour l'aide apportée je vous en suit très reconnaissant, mais sans vouloir abuser de votre recours pourriez-vous m'aider pour la partie C ?
ne serait-ce que pour la 1ere question car je suis un peu dérouté
Ecris le taux d'accroissement de F puis effectues un encadrement de celui-ci tu dois pouvoir conclure ensuite. Tu as bien une idée de ce que va etre la dérivée de f?
Tu as donc pour calculer sa dérivée en x0 on va évaluer son taux d'accroissement:
quand x tend vers
.
On a donc .
On suppose que ( l'autre cas est similaire).
Comme f est décroissante on a en fait donc
.
En passant a la limite dans l'inegalité comme f est continue en on obtient :
D'ou
je pense avoir compris le raisonnement mais etes-vous sur de ceci :
?
j'aurais plutot écrit :
mais je dois certainement faire erreur.
Oui c'est ce que tu as écris(ca donne l'intégrale de x0 a x en supposant x superieur a x0) mais ca n'as pas grande influence sur le reste du raisonnement.
merci beaucoup Cauchy de ton aide, je pense maintenant pouvoir terminer l'exercice seul.
Sur ce bonne soirée!
Seb
Derives la fonction t+2-2*racine(2)racine(t) trouves son minimum pour t>0 puis evalues en ce minimum.
Et bien etudies ta fonction ta derivee est negative puis nulle en 2 puis positive donc ta fonction est decroissante puis .... elle atteint son minimum en t=2 or f(2)=0 donc elle est positive.
ah ok! j'ai vraiment du mal je crois que je vais reprendre mon cours ce soir pour être au point demain, merci bien je quitte l'île bonne fin de soirée.
La fonction que je t'ai dit d'etudier est positive donc t+2-2*racine(2)racine(t)>0 tu en deduis donc l'inegalite recherchee. Sinon ta methode a l'air de marcher et c'est plus rapide.
Disons que ta methode est plus intuitive la mienne a le mérite de marcher dans un cadre plus général mais il faut de l'intuition c'est bien qu'est ce qui te gene?
tiens me revoilà et oui c'est moi Casimir... bon ok désolé 
je ne sais pas comment je peux utiliser la répose à la 2a) pour en deduire la 2b) sauriez-vous me mettre sur le droit chemin?
Merci
Seb
bonjour!
je suis à la question 2(c) de la partie C et voilà où j'en suis :
(je ne trouve pas le bon résultat à cause d'un signe incorrect mais je ne vois pas d'où vient la faute...)--> intégration par parties.
alors que je devrais avoir :
d'où vient l'erreur?
Seb
Bonsoir
ton erreur se situe a la premiere ligne quand tu derives (t+2) ca fait 1 mais quand tu integres e(1-t) ca sort un signe - qui s'annule avec celui de la formule d'integration par parties donc tu te retrouves avec un +.
ah d'accord!
je ne voyais pas du tout l'erreur.
merci!
et sinon pour la toute derniere question par rapoport a la limite?
j'ai trouvé que (Sn) converge mais l'encadrement de la limite l me pose probleme.
je suis presque au bout !
Seb
Tu peux utiliser l'encadrement de la question precedente car si je me trompe pas Sn=F(n) je ne sais pas s'il est demandé un encadrement plus fin.
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