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TS - Géométrie de l'espace
Bonjour, je n'arrive pas à résoudre la question 2 ; pouvez-vous m'aider svp :
Dans un repère, soit les points A(1;1;-2) B(1;2;-1) et C(3;1;4)
1. Montrer que ces points définissent un plan P
2. Montrer qu'un point M(x;y;z) appartient à P si et seulement si il existe des réels t et t' tels que :
x=1+2t'
y=1+t
z=-2+t+6t'
Brouillon :
1. vecteurs AB et AC ne sont pas proportionnels donc A,B,C définissent un plan (abrégé)
2. Je ne sais pas comment m'y prendre
Merci pour votre aide 
Commencez par vérifier si chacun des 3 points donnés vérifie les formules de l'énoncé...
Si oui tout point de P peut être défini à partir de ces 3 points....
Bonjour,
Une équation cartésienne du plan ne me semble pas utile.
As-tu entendu parler de système d'équations paramétriques ?
Une piste:
Comparer les coordonnées des vecteurs AB et AC avec les coefficients de t et t' .
Bonjour, merci pour vos réponses,
On n'a pas encore vu les équations de plan mais bien les équations paramétriques
Concernant le couple des vecteurs directeurs (AB;AC) de P, on voit que certains coefficients sont adéquats à ceux de l équation :
AB(0 1 1) AC(2 0 6)(1 0 3) mais je ne trouve pas de "suite" logique
Bonjour,
un point M appartient à un plan si et seulement si il existe deux réels α et β tels que
et Chasles ...
M€P si et seulement si E (il existe) (alpha ; beta)€ IR² / vec AM = alpha vec AB + beta vec AC
<=> AM(x-1 ; y-1 ; z+2) = alpha(0 1 1)+beta(2 0 6)
<=> x=2beta+1
y=alpha+1
z=alpha + 6beta - 2
Est ce qui si on met A€P par exemple, on remplace x y z par ses coordonnées pour trouver alpha et beta ?
tu vois bien que c'est d'ores et déja fini !!
- en remettant dans l'ordre
- en renommant alpha et beta en ...
(j'ai choisi de les appeler alpha et beta j'aurais tout aussi bien pu les appeler u et v , m et n , ou ... )
nota : plus propre est d'écrire
(les coordonnées de M c'est pareil que les coordonnées de
Si je continue ma méthode je trouve des alpha/beta différents si je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B puis C ...
Je prends quel point du coup
tu ne vois pas que j'ai appelé ça alpha et beta pour ne pas t'écrire directement la solution toute rédigée ???
que alpha c'est t et beta c'est t'
c'est exclusivemet une question de choix arbitraire du nom de ces réels
on peut tout aussi bien rédiger :
M appartient à (P) si et seulement si il existe deux réels t et t' tels que etc
c'est exactement la même chose.
c'est pareil qu'on l'écrive alpha et beta ou u et v ou t et t'
et qu'il n'y a rien du tout d'autre à faire, que c'est FINI.
je crois comprendre ce qui te chagrine
je trouve des alpha/beta différents si je remplace x, y et z par les coordonnées de A, B puis C
on ne te demande pas de résoudre quoi que ce soit (de trouver des valeurs à t et t' ou alpha et beta)
[un reliquat du défaut classique " je ne peux pas calculer si je n'ai pas de valeurs numérique"]
mais de prouver que l'ensemble de tous les points du plan (ABC) est identique à l'ensemble de tous les points de coordonnées
x=1+2t'
y=1+t
z=-2+t+6t'
avec t et t' qui "parcourent" indépendamment l'ensemble de tous les réels.
point final
que si M(x;y;z) donné appartient à (ABC) alors il existe deux valeurs t et t' (qui,dépendent évidemment du point choisi)
et que pour toutes valeurs arbitraires de t et t' le point M appartient à (ABC)
c'est ce que veut dire si et seulement si
et cela se démontre d'un coup d'un seul (sans séparer direct et réciproque) par des équivalences dès le départ et tout du long, et c'est ce qui a été fait.
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