Niveau troisième

un coup de main SVP

Posté par sofyanekasunet (invité) 26-08-05 à 00:49

voila un problème qui m'a beaucoup intrigué.Je vous pris de me donner des suggessions pour le résoudre:
Soit a et b deux réels positifs, démontrer que
a+b/2>racine de ab.

Posté par re : un coup de main SVP 26-08-05 à 01:26

Bonjour

Les deux membres sont positifs, donc tu peux les mettres au carré.

Jord

Posté par re : un coup de main SVP 26-08-05 à 01:29

salut
comme a et b sont positifs (a+b)/2 aussi et ab aussi
donc si (a+b)²/2² $\g$ ab alors tu as (a+b)/2 $\g$ $\sqrt{ab}$
donc tu calcules (a+b)²/4-ab =.....et tu montres que c'est positif et c fini
bye

Posté par aicko (invité)re : un coup de main SVP 26-08-05 à 01:30

bonsoir

ab= $\frac{(a+b)^2-(a-b)^2}{4}$ $\frac{(a+b)^2}{4}$

donc 0ab $\frac{(a+b)^2}{4}$
en passant a la racine carrée dans ces inegalites on obtient :
$\sqrt{ab}$ $\frac{a+b}{2}$

voilà

Posté par aicko (invité)re : un coup de main SVP 26-08-05 à 01:37

sinon pour un niveau college

$\frac{(a+b)^2}{4}-ab=\frac{1}{4} (a^2+b^2+2ab-4ab)=\frac{1}{4} (a^2-2ab+b^2)=\frac{1}{4}(a-b)^2$ 0

donc $\frac{(a+b)^2}{4}$ ab0

en passant a la racine
$\frac{a+b}{2}$ $\sqrt{ab}$

Posté par re : un coup de main SVP 26-08-05 à 01:54

Bonsoir;
la methode la plus élémentaire pour comparer deux nombres est de determiner le signe de leur différence,ici tu as (vu que $a,b\ge0$ ):
$4$\blue\fbox{\frac{a+b}{2}-sqrt{ab}=\frac{a+b-2sqrt{ab}}{2}=\frac{(sqrt{a}-sqrt{b})^2}{2}\ge0}$

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