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Un peu de theorie des nombres
Posté par bally (invité)
Bonjour, j'ai une petite question d'arithmetique que je n'arrive pas a resoudre.
Si l'on pose f(x)=(x^2-13)(x^2-17)(x^2-221),on doit prouver que f(x)=0 n'admet pas de solution rationnelles mais f(x)=0 modulo m admet une solution pour tout m.
Bien sur 221=13*17, j'avais pemnse utiliser le fait que le symbole de legendre est un morphisme des inversible mod p dans {-1,1} mais ca ne marche que pour les m premiers,pour les m qui sont de la forme p^k (ce sont les seuls a etudier d'apres le lemme chinois)avec k>1, je ne vois pas trop comment m'en sortir (bien sur p est un nompre premier ici).
Merci d'avance
Bonjour,
si premier et
un entier.
Alors est cyclique.
Donc on suppose maintenant p premier différent de 13 et 17 tel que .
Alors et
étant premiers, ils sont inversibles modulo
.
Soit un générateur du groupe des inversibles, donc tout inversible est de la forme
.
On a donc et
.
Si ou
est pair, on a gagné on a bien une solution.
Supposons alors
est un carré donc on a une solution.
Dans tous les cas, on a obtenu une solution.
Reste à voir les puissances de 2,13,17 ainsi que 3^2=9(après on dépasse 17 pas de problème).
Posté par bally (invité)re : Un peu de theorie des nombres
Ben justement il me semble faux que (Z/p^kZ)* soit cyclique, c'est vrai si k=1 car alors c'est un groupe fini d'unite d'un corps mais dans le cas general, je vois pas trop
Posté par bally (invité)re : Un peu de theorie des nombres
Ok merci,c'est l'argument qu'il me manquait!!
Pour les puissances de 2 ca pose pas de problème avec la structure du groupes des inversibles, pour 9 on le fait à la main car 13=4=2²(9).
Pour les puissances paires de 13 et 17, on s'en sort aussi(avec x=13^k si n=2k), il reste donc à traiter le cas des puissances impaires de 13 et 17.
Je connais un prof qui a le même nom que ton pseudo 
Je sais pas pourquoi j'ai déliré sur les puissances paires j'ai dit n'importe quoi
Pour les puissances de 13, on remarque déja que c'est impossible que x²=13(13^n) si n>1 ou x²=13.17(13^n) car ceci implique que 13 divise x donc: x=13k et ensuite 13^n divise 13(13k²-1) or 13k²-1 n'est jamais divisible par 13.
Donc nécessairement on doit montrer que 17 est un carré modulo 13^n.
Si n=1 c'est trivial, si n>1 alors 17 est premier à 13^n et le groupe des inversibles de Z/13^nZ est cyclique donc si a en est un générateur on doit avoir pour un certain k,est-ce vrai?
Bizarre que j'arrive pas à conclure la....
Cependant je sais montrer que si x²=b(p) avec b inversible a une solution alors x²=b(p^k) a une solution pour tout k.
Ici je l'applique avec b=17 et p=13.
Donc ca me règle le cas des puissances de 13.
Pour 17, et bien on vérifie qu'on a une solution à l'équation x²=13(17)(par exemple x=8). En effet 4²=-1(17) et 2²=4(17) donc 8²=-4=13(17).