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Un pgcd

Posté par
Aalex00 20-03-20 à 18:43

Bonjour à tous,

Je me donne une suite finie de rationnels de la forme p/q avec pgcd(p,q)=1.
Notons u = (p_i/q_i)_{0\leq i \leq n} cette suite et je suppose le premier terme égal à 1.

Je ne n'arrive pas à montrer que \underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(mp_i)=1 avec m=\underset{0\leq i \leq n}{ppcm}(q_i)...

Si on veut remettre la question dans son contexte, la suite représente les coefficients d'un polynôme unitaire et le pgcd cherché le contenu du polynôme "chassé de ses dénominateurs".

Merci de votre aide.

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 20-03-20 à 18:45

bonsoir

je vois mal comment le pgcd des "mpi" pourrait valoir 1 alors que m divise tous ces nombres

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 20-03-20 à 18:50

parti dans les 2 minutes ... record battue

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 20-03-20 à 18:58

Bonsoir  matheuxmatou,

Je bien là. Oui j'ai oublié les q_i ...

C'est \underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(mp_i/q_i)=1.

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 20-03-20 à 19:04

Je réécris tout avec la notation du contenu des fois que ce serait plus clair :

Soit P un polynôme rationnel unitaire et notons m le ppcm des dénominateurs des coefficients de P.
Alors cont(uP) = 1.

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 20-03-20 à 21:17

En relisant je vois que j'ai à nouveau fais une erreur de frappe ... :
Dans le dernier message c'est cont(mP) et pas cont(uP).

Posté par
javalre : Un pgcd 22-03-20 à 14:56

S'agit-il de transformer les coefficients du polynôme (1,p_{n-1} / q_{n-1}, .  ,0,0,. . ) en coefficient appartenant au entiers relatifs du type p_i . c_i    avec  c_i =m/q_i ?

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 22-03-20 à 16:07

Bonjour javal,

Oui c'est ça, la multiplication du polynôme par m permet de "chasser" les dénominateurs et de récupérer des coefficients entiers.

Posté par
jean3re : Un pgcd 22-03-20 à 17:07

Donc avec au moins un coefficient qui vaut 1 le résultat me semble évident

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 22-03-20 à 17:47

jean3
je ne pense pas !

fais un essai avec un polynôme su genre

x^2 + \dfrac{4}{3} x + \dfrac{5}{2}

Posté par
malou Webmasterre : Un pgcd 22-03-20 à 18:16

javal=jean3

intérêt du changement de pseudo ??

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 22-03-20 à 18:21

il avait peur qu'on comprenne javal de travers ?

on a échappé à Jean XXIII !

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 23-03-20 à 14:33

Bonjours à vous,

Sinon, j'avais essayé une récurrence mais sans aboutir.

Je me donne un polynôme unitaire P = (1=p_n/q_n, p_{n-1}/q_{n-1}, \cdots,p_0/q_0, 0, 0, \cdots) dont les coefficients rationnels respectent (p_i,q_i) \in \mathbb{Z}\times\mathbb{N}^* et pgcd(p_i,q_i)=1.

Je raisonne sur le degré n de P. Pour n=1 (et même 0) c'est évident. Je suppose la propriété vraie au rang n\geq 1, ie :
.\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad m_n := \underset{0\leq i \leq n}{ppcm}(q_i)\qquad,\qquad \underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(m_np_i/q_i)=1

J'écris qu'il existe un entier k tel que
m_{n+1} :=\underset{0\leq i \leq n+1}{ppcm}(q_i) = k m_n
Et j'obtiens que
\underset{0\leq i \leq n+1}{pgcd}(m_{n+1}p_i/q_i) = pgcd\left( \underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(m_{n+1}p_i/q_i), m_{n+1}p_{n+1}/q_{n+1} \right) \\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad= pgcd\left( \underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(km_np_i/q_i), m_{n+1}p_{n+1}/q_{n+1} \right) \\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad= pgcd\left( k\underset{0\leq i \leq n}{pgcd}(m_np_i/q_i), m_{n+1}p_{n+1}/q_{n+1} \right) \\ \quad\qquad\qquad\qquad\qquad\overset{\textrm{HR}}{=} pgcd(k, m_{n+1}p_{n+1}/q_{n+1})

Mais je n'arrive pas à conclure que ça vaut 1. Avez-vous une idée/indication à me donner ?

Merci de votre aide.

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 23-03-20 à 17:57

reprenons !

si d est le pgcd des dénominateurs, tes dénominateurs s'écrivent

q_i=d q'_i

avec les q'_i premiers entre eux et on a m=d\prod_{i=1}^{n-1} q'_i

une fois ton polynôme multiplié par m, le coefficient dominant est m et les autres sont (pour i allant de 0 à (n-1))

p_i \times \prod_{j=1 \atop j\neq i}^{n-1} q'_j

suppose qu'un entier premier p divise tous ces coefficients

il divise m=d\prod_{i=1}^{n-1} q'_i

soit il ne divise aucun des q'i

alors il divise d (donc tous les qi)

et puisqu'il divise aussi p_1 \times \prod_{j=2}^{n-1} q'_j

alors il divise p1

ce qui contredit l'hypothèse selon laquelle p1 et q1 étaient premiers entre eux.

soit il divise un des q'i

il n'en divise qu'un seul puisque les q'j sont premiers entre eux... notons i l'indice de celui que p divise.

p divise aussi p_i \times \prod_{j=1 \atop j\neq i}^{n-1} q'_j

et il est premier avec ce produit, donc p divise pi

finalement il divise pi et qi

ce qui contredit l'hypothèse de fractions irréductibles au départ

voilà...

donc aucun nombre premier ne divise tous les coefficient de ton nouveau polynôme et donc ses coefficients sont premiers en eux dans leur ensemble

Posté par
Aalex00re : Un pgcd 23-03-20 à 21:54

Bonsoir matheuxmatou,

Merci beaucoup de ta réponse, c'est bien clair.

Donc finalement même pas besoin de récurrence.

Posté par
matheuxmatoure : Un pgcd 24-03-20 à 09:39

pas de quoi


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