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Un problème de math

Posté par Julien076 (invité) 15-10-04 à 22:57

Bonsoir,
Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice. Merci d'avance

Exercice :
Le rameur « intelligent »
L'occupant d'une barque se pose le problème suivant : « Je suis en mer (A) à 2 km en ligne droite de la plage (B). Je désire atteindre le plus rapidement possible ma maison (C) sur la plage à 6 km de B. En barque, j'avance à une vitesse de 3 km/h, à pied à une vitesse de 5 km/h. En quel point M du rivage dois-je accoster ? Voyons, voyons...».

1. Posons x = BM.
Démontrer que la durée totale t(x) (en heures) du trajet AM + MC est :
t(x) = [racine de (x² + 4)] / 3 + [(6 - x) / 5].

2. En étudiant la fonction x -> t(x) sur l'intervalle [0 ; 6] trouvez le point en lequel elle présente un minimum. Déduisez-en la distance parcourue à pied par le rameur pour regagner sa maison le plus rapidement possible.

edit T_P :
Pour visualiser la figure :
Un problème de math

Posté par
dad97 Correcteurre : Un problème de math 15-10-04 à 23:25

Bonjour Julien076,

Par Pythagore dans ABM triangle rectangle en B: AM=\sqrt{x^2+2^2}=\sqrt{x^2+4}

MC=6-x

le temps mis pour rejoindre la maison est : (utilisation de t=\frac{d}{v})

t(x)=\frac{AM}{3}+\frac{MC}{5}=\frac{\sqrt{x^2+4}}{3}+\frac{6-x}{5}

Pour l'étude de fonction :

t'(x)=\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}-\frac{1}{5}= \frac{5x-3\sqrt{x^2+4}}{15\sqrt{x^2+4}}=\frac{(5x-3\sqrt{x^2+4})(5x+3\sqrt{x^2+4})}{15\sqrt{x^2+4}(5x+3\sqrt{x^2+4})}=\frac{25x^2-9(x^2+4)}{15\sqrt{x^2+4}(5x+3\sqrt{x^2+4})}=\frac{16x^2-36}{15\sqrt{x^2+4}(5x+3\sqrt{x^2+4})}=\frac{16(x-\frac{3}{2})(x+\frac{3}{2})}{15\sqrt{x^2+4}(5x+3\sqrt{x^2+4})}

d'où l'étude du signe de la dérivée :

[0;\frac{3}{2}[, f'(x)<0
]\frac{3}{2};6], f'(x)>0

D'où un minimum en x=\frac{3}{2}

d'où la distance à pied 6-1,5=4,5 km.

Salut

Posté par
Belge-FDLEre : Un problème de math 16-10-04 à 00:53

Salut Julien ,

Je vais essayer de t'aider de mon mieux :

1-Posons x=BM. Démontrons que que la durée totale t(x) (en heures) est égale à :
2$\rm~t(x)~=~\frac{\sqrt{x^2+4}}{3}~+~\frac{6-x}{5}

Le trajet que notre rameur devra faire se décompose en 2 parties : AM et MC

*[AM] est l'hypothénuse du triangle rectangle ABM, et en appliquant le théorème de Pythagore, on trouve :
2$\rm~AM^2~=~AB^2~+~BM^2
Or AB=2 et BM=x, donc :
2$\rm~AM^2~=~2^2~+~x^2
2$\rm~AM^2~=~4~+~x^2
2$\rm~AM~=~\sqrt{4+x^2}
On nous dit que dans l'eau, le rameur évolue à la vitesse de 3 km.h-1. Le temps t1 qu'il mettra pour parcourir AM est donc égal à :
2$\rm~t_1~=~\frac{AM}{3}
2$\rm~t_1~=~\frac{\sqrt{x^2+4}}{3}

**On voit facilement que :
2$\rm~MC~=~BC-BM~=~BC-x~=~6-x
Or on nous dit que le rameur marche à la vitesse de 5 km.h-1. Le temps t2 qu'il mettra pour parcourir MC est donc égal à :
2$\rm~t_2~=~\frac{MC}{5}
2$\rm~t_2~=~\frac{6-x}{5}

CONCLUSION :En additionnant t1 et t2, on trouve bien que le temps total t(x) qu'il lui faudra pour arriver jusqu'à sa maison est égal à :
2$\rm~t_(x)~=~t_1~+~t_2
2$\rm~t(x)~=~\frac{\sqrt{x^2+4}}{3}~+~\frac{6-x}{5}


2-Étudier la fonction x -> t(x) sur [0 ; 6] et trouver le point en lequel la fonction admet un minimum sur cette intervalle.
En déduire ensuite quelle sera la distance que le rameur devra parcourir à pied pour regagner sa maison le plus rapidement possible.

Pour étudier les variations de la fonction t, nous allons tout d'abord calculer sa dérivée t'.
t est dérivable sur [0 ; 6] comme somme de fonctions dérivables sur [0 ; 6], et on a :

2$\rm~t(x)~=~u(x)~+~v(x) donc 2$\rm~t'(x)~=~u'(x)~+~v'(x)

avec 2$\rm~u(x)~=~\frac{\sqrt{x^2+4}}{3} d'où 2$\rm~u'(x)~=~\frac{3\times\frac{1}{2}\times2x\times\frac{1}{\sqrt{x^2+4}}}{3^2}~=~\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}
et   2$\rm~v(x)~=~\frac{6-x}{5} d'où 2$\rm~v'(x)~=~\frac{-5}{5^2}~=~-\frac{1}{5}

CONCLUSION : On a donc : 2$\rm~t'(x)~=~\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}~-~\frac{1}{5}

Pour étudier les variations de t, on étudie le signe de t'. Or, on a :

2$\rm~t'(x)~\geq~~0
2$\rm~\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}~-~\frac{1}{5}~\geq~~0
2$\rm~\frac{x}{3\sqrt{x^2+4}}~\geq~~\frac{1}{5}
2$\rm~\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}~\geq~~\frac{3}{5}
2$\rm~\frac{x}{\sqrt{x^2(1+\frac{4}{x^2})}}~\geq~~\frac{3}{5}
2$\rm~\frac{x}{x\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}~\geq~~\frac{3}{5}
2$\rm~\frac{1}{\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}}~\geq~~\frac{3}{5}
2$\rm~\sqrt{1+\frac{4}{x^2}}~\leq~~\frac{5}{3}
2$\rm~\1+\frac{4}{x^2}~\leq~~\frac{25}{9}
2$\rm~\frac{4}{x^2}~\leq~~\frac{16}{9}
2$\rm~\frac{1}{x^2}~\leq~~\frac{4}{9}
2$\rm~x^2~\geq~~\frac{9}{4}
2$\rm~x^2~-~\frac{9}{4}~\geq~~0
2$\rm~(x-\frac{3}{2})(x+\frac{3}{2})~\geq~~0

SSI 2$\rm~x~\geq~~\frac{3}{2} ou 2$\rm~x~\leq~~\frac{3}{2}

Mais, comme on étudie la fonction sur l'intervalle [0 ; 6], on s'intéressera uniquement à : 2$\rm~x~\geq~\frac{3}{2}

t' est négative sur [0 ; 3/2] et t est donc décroissante sur cette intervalle.
t' est positive sur [3/2 ; 6] et t est donc croissante sur cette intervalle.

CONCLUSION : t(x) est donc minimum pour 2$x=\frac{3}{2}, et on a :
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{\sqrt{(\frac{3}{2})^2+4}}{3}~+~\frac{6-\frac{3}{2}}{5}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{\sqrt{(\frac{9}{4}+\frac{16}{4}}}{3}~+~\frac{\frac{9}{2}}{5}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{\sqrt{(\frac{25}{4}}}{3}~+~\frac{9}{10}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{\frac{5}{2}}{3}~+~\frac{9}{10}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{5}{6}~+~\frac{9}{10}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{50}{60}~+~\frac{54}{60}
2$\rm~t(\frac{3}{2})~=~\frac{104}{60}
Ainsi, même si on ne nous le demande pas, on se rend compte que le rameur mettra un minimum de 104 minutes, soit 1 heure et 44 minutes, pour revenir chez lui.

On peut à présent facilement déduire la distance qu'il aura à parcourir à pied si il emprunte ce parcours qui lui prendra un minimum de temps. On a vu plus tôt que : 2$\rm~MC~=~BC-BM~=~BC-x~=~6-x
Ainsi, on en déduit facilement que le rameur devra parcourir :
2$\rm~MC~=~6-\frac{3}{2}~=~\frac{9}{2}~=~4,5

CONCLUSION : Le rameur, s'il emprunte le parcours qui lui prendra le moins de temps, devra parcourir une distance de 4,5 km à pied .

REMARQUE TRÈS PERSONNELLE : Si on calcule t(0) et t(6), on se rend compte que 2$\rm~t(0)~=~\frac{28}{15}~=~\frac{112}{60}
et
2$\rm~t(6)~=~\frac{2\sqrt{10}}{3}~=~\frac{40\sqrt{10}}{60}~\approx~~\frac{126,5}{60}
On voit donc, que notre rameur a fait, en réalisant cette exercice une économie maximale de temps égale à 22,5 min, soit 22 min et 30 sec, ce qui veut dire qu'à moins que ce rameur ait réaliser cet exercice en moins de 22min 30s (ce dont je doute, à moins qu'il ait une ti-89 à bord ), il a perdu du temps et ce problème d'optimisation n'avait donc aucun intérêt .
Ceci dit, je te déconseille fortement de mettre cette remarque dans ton DS .

Voilà, si tu as une ou des questions, n'hésite pas .

À +   

Posté par Julien076 (invité)re : Un problème de math 16-10-04 à 12:16

Salut
Merci pour votre aide.

Je vais édudier les réponses cette aprés midi. Si j'ai le moindre problème je vous ferais signe.

@++++


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