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Un problème de Sangaku
salut 
Notre professeur nous a donné un problème de Sangaku, nous devons montrer que r2=8r1r2
r correspond au grand cercle qui se trouve dans le triangle
r1correspond au cercle de droite
r2 correspond au petit cercle de droite
Je joins ci dessous la figure ou j'ai placé des points:
A,B,C,D,E,F
J'ai trouvé que le triangle ABC était rectangle,
et les égalités suivantes: AD=AF ; DB=BE ; EC=CF
Je sais également que les longueurs (AB+AC-BC)/2 permettent de trouver le rayon (nommé r) du cercle se trouvant dans le triangle.
Cependant je n'arrive pas à trouver de relation entre les rayons des trois cercles 
, pouvez-vous me mettre sur la voix?
Merci d'avance 
Bonjour
ton grand demi-cercle a pour rayon 1/2 BC
R1=1/2(BC/2-AC/2)
R2=1/2(BC/2 -AB/2)
calcule 8R1R2
et calcule R² avec ce que tu as mis dans ton énoncé
et n'oublie pas que ton triangle ABC est rectangle, donc que AB²+AC² vaut BC²
tu vas trouver les deux quantités égales
voilà une piste possible...
Bonjour,
Merci d'avoir répondu si vite.
Cependant pouvez vous m'expliquer comment on trouve:
R1=1/2(BC/2-AC/2)
R2=1/2(BC/2 -AB/2)
1/2 c'est pour les rayons
donc cherche d'abord les diamètres
prends le milieu de [BC], soit I
trace la // à AB et la // à AC passant par I
et analyse la figure
et démontre ce que tu vois
tu vas alors pouvoir obtenir les résultats que j'ai trouvés !
bonjour,
montrez que M est le milieu de AB
montrez que I est le milieu de AC
que la droite MN passe par O
que la droite HI passe par O
MN médiane, médiatrice et hauteur de ANB
HI médiane, médiatrice et hauteur de CHA
d'où
R=CB/2=OM+MN
R=CB/2=OI+IH
donc
r1=...
r2=...
et comme
r=(AB+AC-BC)/2
et
AC²+AB²=CB²
on mélange bien et hop!
bonjour,
j'ai essayé de poser les deux égalités et voici ce que j'obtiens:
pour: 8r1r2
8(1/2(BC/2-AC/2))(1/2(BC/2 -AB/2))
= 8(1/2*BC/2-1/2*AC/2)(1/2*BC/2-1/2*AB/2)
= 8(BC/4-AC/4)(BC/4-AB/4)
= 8(BC-AC)/4*(BC-AB)/4
pour r2
((AB+AC-BC)/2)2
=(AB2+AC2-BC2)/4 Je remplace BC2 par AB2+AC2
Et j'ai trouvé 0/4
pouvez vous juste me dire juste ce qui cloche dans mes calculs? Car de toute évidence ce n'est pas ça.
pour: 8r1r2
= 8(BC-AC)/4*(BC-AB)/4
oui, et cela fait 1/2((BC-AC)*(BC-AB)=.....continue, développe, et arrête toi
pour r2
((AB+AC-BC)/2)2
mais ton développement est faux....tu as oublié tous les double produits
cela vaut
(AB+AC-BC)/2*(AB+AC-BC)/2=.....
tu es sur la bonne voie! courage!
Voici mon développement pour 8r1r2:
1/2((BC-AC)*(BC-AB))
= 1/2(BC2-(BC*AB)-(AC*BC)+(AB*AC)) Je remplace BC2 par AB2+AC2
= 1/2(AB2+AC2-(BC*AB)-(AC*BC)+(AB*AC))
pour r2
(AB+AC-BC)/2*(AB+AC-BC)/2
= (AB2+2(AB*AC)-2(BC*AB)-2(BC*AC)+BC2+AC2)/4
Je simplifie le tout par deux et trouve
(AB2+(AB*AC)-(BC*AB)-(BC*AC)+BC2+AC2)/2
Seulement j'ai un BC2 "en trop"
bonjour,
= (AB2+2(AB*AC)-2(BC*AB)-2(BC*AC)+BC2+AC2)/4
Je simplifie le tout par deux et trouve
(AB2/2+(AB*AC)-(BC*AB)-(BC*AC)+BC2/2+AC2/2)/2
" Je remplace BC2 par AB2+AC2"
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