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Niveau seconde
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un rectangle , ses dimensions?

Posté par joffrey (invité) 03-06-04 à 21:47

salut a tous , voici un probleme , qui me pose probleme lol :

Si on augmente de 3 metres chaque dimension d'un rectangle sa surface
augmente de 219m² .
Si on diminue chaque dimension de 3 metres , sa surface devient 999m²
.
Quelles sont les dimensions du rectangle ?

moi je fais ca :

Soit x le largeur , y la longueur , et a l'aire

(x+3)(y+3) = a + 219
(x-3)(y-3) = 999

alors en developpant et en reduisant je me tape ca et ca m'avance
pas du tout car j'ai 3 inconnues ! :

2(xy) + 9 = a + 1218
2(xy) - a = 1209

j'ai fait pas addition apres avoir developpe , quelqu'un aurait il
une solution?
merci a vous

Posté par lolo (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 21:53

salut
certes et l'aire du rectangle c'est égal à quoi......en fct des
dimensions


@ plus

Posté par
Nightmare
re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 21:54

Salutation

Je pense que tu oublie l'essentiel .

a = xy ......

Essaye ac cette donnée

Posté par (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 22:19

ben alors si je fais comme tu dis :

xy = a
2(xy) + 9 = a + 1218
2(xy) - a = 1209

a = 1209........je sais pas resoudre ce systeme a 3 equations ni trouver
les x et y , alors si quelqu'un a plus de precisions ou d'explications...

Posté par
Victor
re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 22:59

Bonsoir,

On sait que :
xy=1209
or 1209=3*13*31
et x et y sont strictement supérieur à 3 et x < y
(x;y)=(13;93) ou (31;39).

@+

Posté par Emma (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 23:00

Tu as traduit l'énoncé par les deux équations :
(x+3)(y+3) = a + 219
(x-3)(y-3) = 999
où x correspond à la largeur , y à la longueur , et a à l'aire.
Mais d'autre part, tu sais que a=xy.

Donc ton  système de départ :
|a=xy
|(x+3)(y+3) = a + 219
|(x-3)(y-3) = 999
est équivalent au système (obtenu par substitution, c'est-à-dire
en remplaçant toutes les occurences de a par la valeur de
a donnée par la première équation, i.e. par xy...)
|a=xy
|(x+3)(y+3) = xy + 219
|(x-3)(y-3) = 999

Les deux dernières lignes constituent un système de deux équations à
deux inconnues. En le résolvant, tu obtiendras les valeurs de x et
y cherchées. Puis, la première ligne te permettra de déduire des
valeurs de x et y la valeur de a.

Mais en réalité, pour simplifier un peu, remarque quetu n'as pas
réellement besoin d'introduire a.
Tu aurais pu dire :
Soient x la largeur et y  la longueur du rectangle initial.
Alors l'aire de ce rectangle est égale à xy.
Et donc, la mise en équation t'amène au système de deux équations
à deux inconnues suivant :
|(x+3)(y+3) = xy + 219
|(x-3)(y-3) = 999

qui correspond aux deux dernières lignes du système de trois équations
à trois inconnues.

J'espère avoir été assez claire...
@+

Posté par (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 23:00

ah ouais et comment je peux trouver ca moi c'est dans aucun
court c'est juste une astuce , tas pas une methode plutot?

Posté par (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 03-06-04 à 23:13

en resolvant ton systeme j'ai ca :

3x + 3y = 210
-3x - 3y = 990

ben pour le resoudre bon courage , je sais meme pas si il a un sens .

Posté par (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 04-06-04 à 00:22

et victor tu penses quoi de ca :

(x+3)(y+3) = xy + 219 <=> xy+3x+3y+9 = xy + 219 <=> x+y = 70 [1]

(x-3)(y-3) = 999 <=> xy-3x-3y+9 = 999 <=> xy = 990 +3(x+y) = 1200 d'après
[1]

si tu l'as vu en cours c'est facile (trouver 2 nombres connaissant
leur somme et leur produit)

sinon

x et y sont solutions d'un polynôme du second degré d'où

(X-x)(X-y) = 0 <=> X² - (x+y)X + xy = 0 <=> X² - 70X +1200 = 0

et tu devrais trouver x=30 et y=40

c'est un mec qui m'a repondu ca , quelqu'un peut m'expliquer
ces 2 choses svp :

1.si tu l'as vu en cours c'est facile (trouver 2 nombres connaissant
leur somme et leur produit) je ne l'ai jamais vu

2.(X-x)(X-y) = 0 <=> X² - (x+y)X + xy = 0 <=> X² - 70X +1200 = 0
jcomprends pas comment il ecrit ca , comment il arrive a ca , j'ai tres
besoin d'une explication si ca vous ennuit pas , merci merci
merci

Posté par Emma (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 04-06-04 à 01:03

En réalité, ce n'est pas exactement ça (mais pour tout te dire,
dans mon précédent post, c'est aussi le système que j'avais
en tête :S)

En réalité tu obtiens :
--> Pour ta première équation, ok (car les xy se simplifient), et tu
peux même la simplifier par 3...
-->Mais pour la seconde équation, il te reste le terme xy :

Donc ton système est :

|x+y=70
|xy-3x-3y=990

i.e.    |x+y=70
         |xy=3(x+y)+990

J'ai mis 3 en facteur, de façon à faire apparaître la quantité x+y, car
d'après la première ligne, je sais que cette quantité vaut 70.
Donc, par substitution (comme dans mon message précédent...)
|x+y=70
|xy=3*70+990

i.e.    |x+y=70
         |xy=1200

Bon, sauf que toi, tu trouvais que a=1209... alors, je me suis peut-être
trompée dans mes calculs.


De toutes façons, tu es ramené à trouver deux nombres dont tu connais
la somme (S=70) et le produit (P=1200)
Or ces deux nombres sont les deux solutions de l'équation en Z
Z²-S²+P=0

Donc ici, tu es amené à résoudre l'équation
z²-70z+1200 (ou z²-70z+1200 si je me suis trompée...)

Tu calcules le discriminant, et tu résous :
=...
tu trouves
z1=40 et z2=30
(ou z1=39 et z2=31 si je me suis trompée...)

Donc tu obtiens (puisque x est la largeur et y la longueur, x<y)
x=30 et y=40   (ou x=31 et y=39 si je me suis trompée...)

Posté par Emma (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 04-06-04 à 01:17

J'ai été un peu longue à rédiger mon message précédent. Donc
je n'avais pas lu ta dernière question...
Premier point, vu ce que tu écris, il semble que je ne me sois pas trompée
: c'est bien xy=1200 et pas xy=1209 comme tu le disais
dans ton message de 22:19
.

De même que le mec qui t'a répondu, j'ai utilisé le
fait que :
les nombres x et y dont on connaît la somme S et le prosuit P sont
solutions de l'équation en Z :  Z²-SZ+P=0


En fait, il me semblait que c'était un résultat à connaître, sans
avoir à le redémontrer.
Mais ton message contient la démonstration de ce résultat. Je la reprends...
L'équation dont il part est (Z-x)(Z-y)=0
Les solutions de cette équation sont bien évidemment x et y

Donc chercher la longueur et la largeur de ton rectangle est équivalent
à résoudre l'équation en Z : (Z-x)(Z-y)=0

Et là, en développant et réduisant le premier membre, on obtiens l'équation
équivalente : Z²-(x+y)Z+(xy)=0
i.e. Z²-SX+P=0 avec mes notations.

Voilà. J'espère que cette fois, c'est bon. Sinon, n'hésite
pas...
@+

Posté par (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 04-06-04 à 11:24

merci bcp de cette superbe explication , ca va bcp mieux , je me
demande quand meme quel est le mathematicien qui a trouve cette regle
:

les nombres x et y dont on connaît la somme S et le prosuit P sont
solutions de l'équation en Z :  Z²-SZ+P=0
et comment il a fait son compte ;p

Posté par Emma (invité)re : un rectangle , ses dimensions? 04-06-04 à 11:52

Historiquement, je ne sais pas ce qu'il s'est passé.
Mais voici un point de vue différent de celui de la démonstration de ton
ami. Car on peut aussi partir à l'envers (et c'est plus
proche du programme de Seconde)

Considérons l'équation x²+bx+c :
Son discriminant est : =b²-4c (car a=1...)
Et ses racines sont  :
x1=[-b- ( )]/2
x2=[-b+ ( )]/2

Mais alors, la somme des deux racines est égale à :
S=[-b- ( )+(-b)+ ()]/2
S=[-2b]*2
S=-b
(et donc b=-S)

Quant au produit des deux racines, il est égal à :
P=[-b- ()]*[-b+ ( )]/[2*2]
P=[(-b)²-()²)/4
P=[b²-(b²-4c)]/4
P=[b²-b²+4c)]/4
P=[4c]/4
P=c
Et donc c=P

Donc (en remplaçant b par -S et c par P), l'équation x²+bx+c peut
aussi s'écrire x²-Sx+P

D'où le fameux résultat... les nombres dont la somme est S et le produit
est P sont les deux solutions de l'équation en x : x²-Sx+P...



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