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Ce que veut dire camélia, c'est qu'n extension de corps est un esp vectoriel sur ce corps, mais pas focément de dimension fini (cf Q(pi))
Soit L une extension de K.
On a toujours L qui est un K-ev.
Si L est finie, alors dimension de L comme K-ev est finie.
Si L n'est pas finie, alors la dimension de L comme K-ev est infinie
??
C'est précisément la définition d'une extension finie...une extension de k est dire fini si sa dimension en tant que k esp vect est finie...
Enfin je veux dire :
on prend L une extension de K. Cette extension est finie si le corps L est finie, non ?
La définition d'une extension finie c'est que L est de dimension finie comme K-ev.
Mais si L est finie, est-ce que sa dimension comme K-ev est finie ??
Tu veux dire si on cardinal est fini?
Non, non pas du tout! Ca n'a rien à voir!
Ce qui est fini c'est la dimension, rien d'autre.
Quand on dit qu'un corps L est fini, cela signifie-t-il qu'il est de cardinal fini ou que sa dimension en tant qu'ev est fini ?
Non un corps fini, c'est un corps de cardianl fini, ce sont les Fp.
Une extensions fini est une extension de dimension finie.
Bien sur une extension finie d'un corps fini est un corps fini.
. Il n'y a que les Fp comme corps de cardinal fini ?
. Donc si L est fini (cad de cardinal fini), la dimension de L en tant que K-ev est fini, non ?
L est une extension de K.
Donc L est un corps qui contient K comme sous-corps.
Si card(L) est fini, pourquoi dim(L) est fini ?
donc c'est bien ce que je disais à 17h08 :
. Donc si L est fini (cad de cardinal fini), la dimension de L en tant que K-ev est fini, non ?
Je t'avais répondu oui, mais il faut quad meme preciser une extesion par rapport à quoi, un corps donnné peut etre l'extension de plein de corps...
Donc si tu dis juste L est un corps fini alors dim (L/K) est fini, on est en droit de se demander ce qu'est K, non?
Ok Ok, c'est vrai.
.est-ce que si un corps est infini (donc de cardinal infini), sa caractéristique est nulle ?
.est-ce que si un corps est fini (donc de cardinal fini), sa caractéristique est p premiers positif strict ?
J'ai pas tout lu alors pardon pour les redites :
a) Si L est un corps fini alors son cardinal est q= p^r où p est un nombre premier , donc si K est un sous-corps L/K est une extension finie .
b) si car K (la caractéristique) est nulle alors K contient Q donc est infini.
c) il existe des corps de caractéristique p >0 qui sont infinis (facile)
d) si K est fini d'après le a) sa caractéristique est p >0
Non si un corps est infini sa carractéristique n'est pas forcélent nulle (Fp(T) par exemple)
Si un corps est fini sa carractéristique est fini et donc c'est un nombre premier.
Non si un corps est infini sa carractéristique n'est pas forcélent nulle (Fp(T) par exemple)
C'est quoi Fp(T) ??
Si un corps est fini sa carractéristique est fini et donc c'est un nombre premier.
Comment on montre ceci stp ?
Donc K fini implique que car(K)=p>0 (réciproque fausse)
car(K)=0 implique que K infini (réciproque fausse)
?
Fp(T) c'est le corps de fractions rationnelles à coeff dans Fp
Ben il n' a pas de morphismes (ou d'application d'ailleurs) injectifs d'un anneau infini dns un anneau fini.
Ok pour le contre exemple.
Je vois pas pourquoi en revanche, pour montrer que "K fini implique que car(K)=p>0", pourquoi un tel morphisme n'existe pas!
Il n'existe jamais d'application injective d'un ensemble infni dans un ensemble fini, question de cardinaux.
Il faut utiliser ceci :
a) Si L est un corps fini alors son cardinal est q= p^r où p est un nombre premier , donc si K est un sous-corps L/K est une extension finie .
pour montrer que "K fini implique car(K)=p>0"
?
Es tu d'accord qu'il n'existe pas d'application injective d'un ensemble infini dnas un ensemble fini.
Si f est une injection de A dans B, alors card(A) est inférieur ou égal à card(B).
Si tu as une infinité de chaussettes et qu'un nombre fini de tirroir tu ne pourras pas ranger qu'une cahussette par tirroir
Ok donc je raisonne avec la contraposée.
Supposons que car(K)=0.
Le morphisme est injectif.
Donc , mais
donc
donc K est infini.
On a bien K fini implique car(K)=p>0
Pour l'onstant la seule chose qu'on a prouvé c'est qu'il n'existe pas de morphisme injectif de Z dans un corps fini, vois tu pourquoi cela implique que la carractéristique d'un cops fini est non nulle et que c'est un nombre premier.
Heu par définition...pas tout à fait. Mais bon si tu sais que la carractéristique est toujours un nombre premier, alors parfait!
On regarde le morphisme d'anneaux f de Z dans A.
Ici, K est un corps donc intègre. {0} est donc un idéal premier de K.
Mais alors f-1({0})=Ker(f) est un idéal premier de Z.
On sait que ces idéaux sont soit {0} soit les pZ avec p premier.
La caractéristique c'est le générateur de ce noyau donc est soit 0 soit p premier.
non ?
OK!
J'ai vu un résultat aussi :
si E est un K-ev de dimension n alors
donc j'écris que E est isomorphe à Kx...xK (n fois) (en tant que K-ev) et donc card(E)=card(Kx...xK)=card(K)x...xcard(K)=card(K)^n
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