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Un sous groupe...

Posté par
Pythix 25-05-08 à 11:20

Bonjour,
je bloque sur cet exercice :

soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et F un sous espace vectoriel de L(E) contenant id et stable par o.

Montrer que F\cap GL(E) est un sous groupe de GL(E).

J'ai essayé de partir sur la caractérisation classique d'un sous groupe, mais difficile de montrer de montrer la stabilité par o et que l'inverse est dans F...

Si quelqu'un a une idée... Merci d'avance

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Un sous groupe... 25-05-08 à 11:42

Bonjour !

rien n'est difficile !

D'abord \Large Id\in \mathcal{GL}(E) et \Large Id\in F donc : \Large Id\in \mathcal{GL}(E)\cap F

Soit \Large f,g\in \mathcal{GL}(E)\cap F donc: \Large f,g\in \mathcal{GL}(E) et \Large f,g\in F F stable par o, et GL(E) aussi bien sur donc \Large gof\in \mathcal{GL}(E)\cap F.

Pour tout \Large f\in \mathcal{GL}(E)\cap F f est bijectif (inversible).
donc \Large f^{-1}\in F (car stable) et donc: \Large f^{-1}\in \mathcal{GL}(E)\cap F

Ainsi on a montré que \Large\mathcal{GL}(E)\cap F est un sous groupe de \Large\mathcal{GL}(E)

Posté par
Camélia Correcteurre : Un sous groupe... 25-05-08 à 15:04

Bonjour

>monrow Attention! Stable veut dire que la composée de deux éléments de F est dans F, mais pas que c'est vrai pour l'inverse! Pour le démontrer il faut utiliser le fait (dont tu ne t'es pas servi) que F est un sous-espace vectoriel.

Posté par
monrow Posteur d'énigmesre : Un sous groupe... 25-05-08 à 15:41

Salut camélia !

ah oui bien sur ! merci pour la remarque !

Posté par
Pythixre : Un sous groupe... 25-05-08 à 16:10

merci, mais je comprends pas bien que f^{-1} \in F...

Posté par
Camélia Correcteurre : Un sous groupe... 25-05-08 à 16:17

Il faut le prouver... Tu peux regarder ici: Exo défi > Matrices et polynôme


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