Niveau terminale

Une attention particulière sur le Bac S 2012...

Posté par
DHilbert 24-05-12 à 17:29

Exercice 3 : 1. a D'une part, les fonctions représentées sont toutes positives sur $[0,\,1]$ . D'autre part, pour $n$ quelconque dans $\N$ , le calcul de $I_n$ nous permet de déterminer l'aire algébrique délimitée par la courbe représentative de $f_n$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x=0$ et $x=1$ . Autrement dit, les fonctions représentées nous portent à croire que la suite $(I_n)_{n\in\N}$ est décroissante.

1. b Montrons à présent le point 1. a. Pour $n$ quelconque dans $\N$ et tout $x$ dans $[0,\,1]$ , l'on constate que $f_n(x)\geq 0$ et que $f_{n+1}(x)=\frac{e^{-(n+1)\,x}}{1+x}=\cdots=e^{-x}\,\frac{e^{-n\,x}}{1+x}=e^{-x}\,f_n(x)$ . Par suite, pour tout $x$ dans $[0,\,1]$ , $-x$ est dans $[-1,\,0]$ , de sorte que $e^{-x}$ est dans $\begin{bmatrix}\frac{1}{e},\,1\end{bmatrix} \subset [0,\,1]$ (en vertu du fait que la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$ ) ; d'où $0\leq f_{n+1}(x)\leq f_n(x)$ . Finalement, par la continuité des fonctions $f_n$ et $f_{n+1}$ sur $[0,\,1]$ et par le fait de les intégrer sur cet intervalle, il s'ensuit que $I_{n+1}\leq I_n$ . La suite $(I_n)_{n\in\N}$ est bien décroissante.

2. a Pour $x$ quelconque dans $[0,\,1]$ , il est clair que l'on a $\frac{1}{1+x}-1=-\frac{x}{1+x}\leq 0$ et $\frac{1}{(1+x)^2}-\frac{1}{1+x}=-\frac{x}{(1+x)^2}\leq 0$ , de sorte que $0\leq \frac{1}{(1+x)^2}\leq \frac{1}{1+x}\leq 1$ . Par conséquent, pour tout $n$ dans $\N$ et tout $x$ dans $[0,\,1]$ , l'on a bien $0\leq\frac{e^{-n\,x}}{(1+x)^2}\leq\frac{e^{-n\,x}}{1+x}\leq e^{-n\,x}$ .

2. b Par intégration sur $[0,\,1]$ , le point 2. a nous conduit à $\int_0^1\,0\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1\,\frac{e^{-n\,x}}{(1+x)^2}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1\,\frac{e^{-n\,x}}{1+x}\,\mathrm{d}x\leq\int_0^1\,e^{-n\,x}\,\mathrm{d}x$ , c'est-à-dire à $0\leq J_n\leq I_n\leq -\frac{1}{n}\,\begin{bmatrix}e^{-n\,x}\end{bmatrix}_0^1$ ; d'où $0\leq J_n\leq I_n\leq -\frac{1}{n}\,\begin{pmatrix}\frac{1}{e^n}-1\end{pmatrix}$ . Finalement, comme $\lim_{n\to\,+\infty}\frac{1}{e^n}=0$ , il est clair que $\lim_{n\to\,+\infty}-\frac{1}{n}\,\begin{pmatrix}\frac{1}{e^n}-1\end{pmatrix}=0$ , si bien que, par le théorème des gendarmes, les suites $(J_n)_{n\in\N}$ et $(I_n)_{n\in\N}$ convergent toutes les deux vers $0$ .

3. a Posant $u(x)=\frac{1}{1+x}$ et $v'(x)=e^{-n\,x}$ , l'on a $u'(x)=-\frac{1}{(1+x)^2}$ et $v(x)=-\frac{e^{-n\,x}}{n}$ . Les fonctions $u'$ , $v'$ , $u$ et $v$ ainsi définies sont continues sur $[0,\,1]$ . A l'aide d'une intégration par partie, il s'ensuit que

$I_n=\int_0^1(u\,v')(x)\,\mathrm{d}x=\begin{bmatrix}(u\,v)(x)\end{bmatrix}_0^1-\int_0^1(u'\,v)(x)\,\mathrm{d}x=\cdots=\frac{1}{n}\,\begin{pmatrix}1-\frac{1}{2\,e^n}-J_n\end{pmatrix}$

D'où le résultat attendu.

3. b Du point 3. a, l'on tire que $n\,I_n=1-\frac{1}{2\,e^n}-J_n$ pour $n$ quelconque dans $\N^*$ , de sorte qu'en vertu du point 2. b et de ce que $\lim_{n\to\,+\infty}\frac{1}{e^n}=0$ , l'on obtient au final $\lim_{n\to\,+\infty}n\,I_n=1$ .

C'était mon moment de détente.

D. H.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 24-05-12 à 17:43

Pour bien suivre, il est bon d'aller ici : Bac S - Pondichéry - Avril 2012.

@Océane : Initialement, je voulais déposer ce travail dans l'espace détente. Cependant, j'ai dû opérer un mauvais choix. Peux-tu le déplacer ? Je te remercie par avance.

D. H.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 25-05-12 à 08:49

@Océane : Bonjour ! Penses-tu réellement que j'ai rédigé tout ça pour rien ? J'avais pensé que tu allais prendre en compte ma demande, mais je me suis trompé.

D. H.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 25-05-12 à 10:53

Citation :
Penses-tu réellement que j'ai rédigé tout ça pour rien ?

Et toi penses-tu réellement qu'Océane n'a que tes demandes à traiter ?

Sois patient, elle est comme toi, elle n'a vraisemblablement que deux bras et deux jambes.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 25-05-12 à 22:08

Salut,

Une autre possibilité pour la 1b)

$\forall x$ $\in$ $[0,1]$    $\frac{1}{1+x} \ge 0$

De plus:

$\forall n$    $\forall x$ $\in$ $[0,1]$ la suite de fonction qui à $x \longrightarrow e^{-nx}$ est décroissante.

D'où:

$e^{-(n+1)x}-e^{-nx}\le 0$

$\Longrightarrow$

$\forall n$    $\forall x$ $\in$ $[0,1]$ ,             $\frac{e^{-(n+1)x}-e^{-nx}}{1+x} \le 0$

En intégrant sur $[0,1]$ on obtient alors:

Pour tout n:
$I_{n+1}-I_{n}\le 0$

Ainsi la suite $(I_n)$ est décroissante.

(Je n'ai pas procédé exactement de la même façon pour la 2a) aussi mais l'idée est la même)

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 28-05-12 à 01:25

Bonsoir DHilbert
et si vous proposiez cette correction comme une contibution:
https://www.ilemaths.net/membre/
[lien]

https://www.ilemaths.net/contribuer/
[lien]

Citation :
Nous attirons également votre attention sur le fait que l'île des mathématiques et les ressources proposées sont gérées par deux personnes, les webmasters du site, qui prennent plaisir à s'en occuper durant leur peu de temps libre disponible. Pour cette raison, et afin que cette occupation reste une passion et non pas une corvée pour tous, nous vous remercions d'être indulgents sur les temps de traitement : il n'est en effet pas rare qu'une contribution reste à l'état 'en attente de traitement' pendant plusieurs mois avant que nous ne trouvions effectivement le temps de la traiter.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 01-06-12 à 17:57

@Chatof : Je te remercie beaucoup pour cette information productive. J'y penserai la prochaine fois !

D. H.

Posté par re : Une attention particulière sur le Bac S 2012... 12-06-12 à 07:49

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