Bonjour,

Voilà ce que j'ai trouvé. Je veux juste savoir si je suis sur la bonne piste.

On vérifie avec m=n=1 que la seule solution possible c'est f(m)=f(n)=1.
Après, on a pour tout m€N, que
f(m)(f(m)+1)| (m(m+1))²
En utilisant Gauss on arrie à ce qu'en fait,
f(m)(f(m)+1)|m(m+1).
Il est donc évident, que pour tout m€N, f(m)<m ou f(m)=m.
Il reste donc à prouver que f est infective, mais là, je vois pas trop.
C'est bon pour l'instant?


Ayoub.

Bonjour 1 Schumi 1 ;

Si je ne crois pas que Gauss puisse te permettre de conclure que :
on a par exemple mais on n'a pas

Ah oui, effectivement, je me suis trompé.
Bon, ben je y y réfléchir.

bonjour,
j'ai calculé f(1),f(2),f(3)..et ensuite j'ai essayé une récurrence en utilisant le fait que m²+f(m+1) divise(m²+m+1)²mais je ne suis pas trés sûre de la fin de ma démonstration
suis-je sur la bonne voie?

veleda==>

Faudra que tu m'expliques comment tu arrives à faire une récurrence dessus. J'ai déjà essayé, mais je vois même quoi ce que tu mets comme hypothèses de récurrence.


Ayoub.

bonsoir Schumi 1
on montre facilement que f(1)=1,f(2)=2..
on suppose que c'est vrai au rang m:f(m)=m
on sait que pour tout couple (m,n) d'entiers naturels non nuls (f(m))²+f(n) divise(m²+n)²,on peut prendre n=m+1 on sait donc que m²+f(m+1) divise (m²+m+1)² donc que (m²+m+1)²=k(m²+f(m+1)) avec k entier naturel et il faut essayer d'en déduire que f(m+1)=m+1

autre essai : on prend le couple (1,n) on a donc 1+f(n) qui divise(1+n)² on est ramené au même problème
que précédemment
je chercherai demain

Une piste :
On pourra commencer par prouver que pour tout nombre premier on a

bonjour ,
on fait m=1 et n=p-1 donc 1+f(p-1) divise (1²+(p-1))² soit p² donc c'est 1,p ou p²puisque p est premier
1 ne va pas cela donnerait f(p-1)=0,il reste à éliminer p² c'est ce que je n'avais pas réussi à faire hier
je vais continuer dans cette voie
bonne journée

Bonne chance veleda tu es maintenant sur la bonne voie

Bon, c'est parti, je me lance.
On veut montrer que f(p-1)+1=p² est impossible.
Raisonnons par l'absurde.

Supposons que pour certain p, f(p-1)=p²-1.
Dans ce cas, si on prend m=p-1 et n=1, on a que:

f(p-1)²+f(1) | ((p-1)²+1)².

Après calcul, cela donne,^
p^4-2p²+2 | p^4-4p^3+8p²-8p+4

Une étude des fonctions f: x|--> x^4-2x²+2 et g: x|--> x^4-4x^3+8x²-8x+4
montre que pour x>1, f>g.
Ce qui montre l'absurdité.

On conclut.


Ayoub.

C'est bien 1 Schumi 1
avec une petite réctification : on a plutôt pour tout entier .

On aurait aussi pu remarquer vu que que
et donc (bonne chance pour la suite)

elhor_adbelali ==>

Citation :
On aurait aussi pu remarquer vu que que

Volontier 1 Schumi 1 ,
Quand un entier naturel non nul divise un entier naturel non nul cela se traduit par l'existence d'un entier naturel non nul
tel que et comme on a à fortiori ,
Alors pour et on a et comme
on voit que les quantités élevées au carré étant positives on a en fait
et comme ce sont des entiers cela veut dire que (sauf erreur)

Ah oui, c'est vrai.
Merci pour l'explication.
Je m'y remets==>

Ayoub.

Bonsoir elhor_abdelali,

Tu pourrais donner un autre indice. Franchement, je vois pas quoi faire.


Ayoub.

Oui 1 Schumi 1 ;

On vient donc d'établir que pour tout nombre premier supérieur ou égal à on a .
et ainsi en faisant on a que pour tout entier naturel non nul :

Tu peux maintenant essayer de montrer que

Merci elhor_abdelali,

On a :

, donc f(n)+(p-1)^2 divise aussi la différence. C'est ainsi que

Or, on sait que . Donc le double aussi.

Par suite, on a bien:



Soit donc finalement:


Pour p suffisamment grand, on a . On en déduit ainsi que:


Réciproquement, l'application identité vérifie bien l'équation fonctionelle.

Ayoub.

Bravo Ayoub !

Merci, génial l'exo.
La réputation de tes exos est donc vraie: ils sont vraiment compliqués. Mais bon, on est content une fois qu'on y arrive.


Ayoub.