1)
Je suppose que f(x) = (x.ln(x))/(x+1)
et je suppose encore que n est dans N.

Df : x dans R*+

f '(x) = ((x+1).(ln(x) + 1)-x.ln(x))/(x+1)²
f '(x) = (x.ln(x) + ln(x) +x+1-x.ln(x))/(x+1)²
f '(x) = (ln(x) +x+1)/(x+1)²

(x+1)² > 0 et donc f'(x) a le signe de g(x) = x + 1 + ln(x)

g(x) = x + 1 + ln(x)
Par approximations successives, on trouve g(x) = 0 pour x = environ 0,279

f '(x) < 0 pour x dans ]0 ; 0,279[ -> f(x) décroissante.
f '(x) = 0 pour x = 0,279
f '(x) > 0 pour x dans ]0,279 ; oo[ -> f(x) croissante.
Il y a un min de f(x) pour x = 0,279(environ) , ce min vaut f(0,279)
= -0,278

lim(x-> 0+) f(x) = lim(x-> 0+) [x.lnx] indétermination qu'on peut lever.
On trouve lim(x-> 0+) f(x) = 0
f(x) = 0 pour x = 1

De ce qui précède, on conclut:
f(x) = 0 pour une seule valeur de x (x = 1) (rappel f(x) n'est pas
définie en )
Lorsque f(x) > 0, donc pour x > 1, f(x) est croissante.
Il y a donc une et une seule solution à f(x) = n  (quel que soit n de
N)
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2)
f(x) = 0 pour x = 1 (car ln(1) = 0) -> Alpha0 = 1

f(x) = 1 ->
xln(x) = x + 1
Par approx. successives -> Alpha1 est dans ]3,59 ; 3,60[
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3)
f(e^n) = e^n.ln(e^n)/(e^n +1)
f(e^n) = n.e^n /(1 + e^n)
Et comme e^n/(1 + e^n) < 1 ->
f(e^n) <= n
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4)
lim(x->oo) f(x) = oo
et donc lim(n->oo) Alpha(n) = oo
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Sauf distraction.