Niveau autre

une égalité lié au noyau de Dirichlet

Posté par
robby3 27-06-08 à 16:05

Bonjour tout le monde,
juste une question rapide:

D'ou vient le fait que:

$\fbox{6$\frac{1}{2}\Bigsum_{l=-k}^{k} exp(il\omega)=\frac{1}{2}+\Bigsum_{l=1}^k cos(l\omega)=\frac{sin([k+1/2]u)}{2sin(u/2)}}$

Merci d'avance de votre aide

Posté par re : une égalité lié au noyau de Dirichlet 27-06-08 à 16:14

Hey robby!

voila ce que j'ai trouvé :

$\Large{\Bigsum_{l=-k}^kexp(ilw)=\Bigsum_{l=-k}^0exp(ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw)$

on a dans la première somme que $\Large{-k\le l\le 0$ d'ou $\Large{0\le -l\le k$ .
on effectue le changement $\Large{u=-l$ de variable pour obtenir que :

$\Large{\Bigsum_{l=-k}^0exp(ilw)=\Bigsum_{u=0}^k exp(-iuw)$

D'ou $\Large{\Bigsum_{l=-k}^k exp(ilw)=\Bigsum_{l=0}^k exp(-ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw)=1+\Bigsum_{l=1}^k exp(-ilw)+\Bigsum_{l=1}^k exp(ilw)=1+\Bigsum_{l=1}^k [exp(-ilw)+exp(ilw)]=1+2\Bigsum_{l=1}^k cos(lw)$

Et par suite, $\Large{\frac{1}{2}\Bigsum_{l=-k}^k exp(ilw)=\frac{1}{2}+\Bigsum_{l=1}^k cos(lw)$ .

Posté par re : une égalité lié au noyau de Dirichlet 27-06-08 à 16:18

Bonjour
première égalité = formule d'Euler, cos(x) = (exp(ix) + exp(-ix))/2

deuxième égalité : on part du membre de gauche qui est la demi somme de termes d'une suite géom de raison exp(iw) et de premier terme exp(-ikw)

la somme vaut $\huge e^{-ik\omega}\fr{1-e^{(2k+1)\omega}}{1-e^{i\omega}} =\fr{e^{-ik\omega}-e^{(k+1)\omega}}{1-e^{i\omega}$ .

l'astuce consiste à tout multiplier en haut et en bas par $3$ e^{-i\omega /2}$ pour reconnaître des sinus