Salut

j'ai un petit problème avec cet exo:

sur G = Z x {-1,1] on définie une loi notée $ ainsi

(a,e)$(b,n]=(a+be,en) pour tout a , b dans Z et e, n  appartient à {-1,1}

question: Montrer que (G,$) est un groupe et est il commutatif

voici mon travail:

déjà G n'est pas vide car G=Zx{-1,1} et cet ensemble n'est pas vide

1/ associativité

soient 3 éléments de G et e , n , h appartient à {-1,1}

je pose x=(a,e) y=(b,n) z=(c,h) puis on calcule séparément x$(y$z) puis (x$y)$z

x$(y$z)=(a,e)$((b,n)$(c,h))=(a,e)$(b+ nc, nh)=(a+ e(b+nc),enh)=(a+eb + enc, enh)

(x$y)$z=((a,e))$(c,h)=(a+eb,en)$(c,h)=(a+eb+enc, enh) ainsi (x$y)$z=x$(y$z) donc $ est associative

2/ élément neutre

soit x=(a,e) et soit u=(0,1) montrons que u=(0,1) est bien l'élément neutre  on dois avoir x$u=u$x=x pour cela calculons x$u et puis u$x

en effet x$u=(a,e)$(0,1)=(a +0xe,ex1)=(a,e) de meme u$x= (0,1)$(a,e)=(0+1xa,1xe)=(a,e)

3/ symétrique

je vous épargne les calculs ( je maitrise pas latex)  le symétrique de x=(a,e) est
x^(-1)=(-a/e,1/e)

effectivemment (a,e)$(-a/e,1/e)=(a+(-a/e)xe,ex1/e)=(0,1)   de plus  (-a/e,1/e)$(a,e)=(-a/e+(1/e)xa, (1/e)xe)=(-a/e+a/e,e/e)=(0,1)

4/ commutativité

soient x=(a,e) et y=(b,n) calculons d'abord x$y et calculons ensuite y$x

x$y=(a,e)$(b,n)=(a+eb,en) et y$x=(b,n)$(a,e)=(b+an,en) on vois donc que x$y est different de y$x donc (G,$) est un groupe non commutatif


qu'en pensez vous sincèrement ? j'ai un doute pour le symétrique...


merci d'avances pour vos réponses

cdt