oups, faute de frappe en plus

d|3ab(a-b)

Rebonsoir Lyonnais

Je te propose autre chose !
Comme tu l'as écrit, et
Ainsi,

Supposons que et ait un diviseur premier commun p.
Alors p divise donc leur somme, c'est-à-dire ab.
Or a et b sont premiers entre eux. On donc p divise a ou p divise b , mais pas les deux.
par exemple; p supposons que p divise a.
Alors p divise et donc p divise , donc p divise b² et donc p divise b (car p est premier) ce uqi est absurde car p ne doit pas diviser a et b en même temps.
On en déduit finalement que et .

Kaiser

Ok merci beuacoup kaiser !



J'ai tout de même une question :

" Supposons que et ait un diviseur premier commun p.
Alors p divise donc leur somme, c'est-à-dire ab "

Je ne comprends pas

Ne serais-ce pas plutôt :

p divise leur différence, donc p|3ab ?

Et si tel est le cas, comment prouve ton que p ne divise pas 3 ?

merci beaucoup pour ton aide en tout cas

Désolé Lyonnais, c'est vrai, je me suis un peu trompé. je vais rattraper le coup.

on a bien p|3ab
Toutefois mon raisonnement selon lequel p ne divise ni a, ni b est encore valable. Ainsi, p|3 et 3 est premier avec a et premier avec b.
Comme 3 est premier, alors il est son seul diviseur premier, d'où p=3.
D'après le petit théorème de fermat, a²1[3] et b²[3].
Comme 3 divise a²+ab+b², alors ab1[3].
Finalement, je me rends compte que le résultat dépend un peu de a et b.

En effet, si a et b sont premiers avec 3 et que ab[1], le pgcd recherché est 3|a-b|(en effet, j'ai commis une autre erreur : le pgcd est toujours positif)
Dans le cas contraire, c'est |a-b|.

Remarque : dans le premier cas, la condition est équivalente au fait que a et b sont premiers avec 3 et 3 divise a-b.


Kaiser

Bonsoir lyonnais et kaiser;
Je crois qu'il faut discuter deux cas suivant que divise ou ne divise pas :
(*)Si 3 ne divise pas a-b alors les entiers et sont premiers entres eux car si est un diviseur premier commun à et il devrait diviser ,
si alors comme l'a vu kaiser ou et il divisera en fait les deux ce qui n'est pas possible vu que 3 ne divise pas a-b.
si alors modulo 3 on aurait 3 ne pouvant pas diviser a et b (premiers entre eux) ni diviser l'un sans diviser l'autre il n'en divise donc aucun et par Fermat on aurait ie et donc que et donc que absurde.
On conclut dans ce cas que .
(*)Si 3 divise a-b:
il est facile de voir que 3 est un diviseur commun à et et en posant on a que et qui sont premiers entre eux vu que ne peut pas diviser et que est premier avec .
On conclut dans ce cas que .

Sauf erreurs bien entendu

Merci beucoup kaiser !!

C'est bon, j'ai compris. Je comprend mieux maintenant, parce que j'avais pris un exemple.

a = 8  et  b = 5

et je trouvais pgcd(...,...) = 9

ce qui se comprend maintenant puisque :

a congru 1 [3]
b congru 1 [3]
ab congru 1 [3]

Voila, merci encore pour ton aide

Mais je t'en prie !

Merci beaucoup  elhor_abdelali !

Je n'avais pas vu ta réponse désolé.

Avec vos 2 réponses conjuguées, je crois que j'ai tout compris maintenant !

A+
romain