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Une histoire de rectangles

Posté par vendredi (invité) 16-04-07 à 22:13

Bonsoir à tous,

Je vous propose un exercice que je trouve assez sympa.
Désolé si vous connaissez déjà...
L'intérêt est qu'il y a une preuve astucieuse (au moins) qui
permet de le faire en deux lignes.

On parvient à paver un rectangle K par un ensemble de petits
rectangles K_i. (Qu'on peut supposer en nombre fini pour simplifier.)

Les rectangles  K_i ont tous la propriété d'avoir un de leurs côtés, au moins, de longueur entière.

Il faut montrer qu'il en est de même pour K.

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 17-04-07 à 00:03

Bonsoir,

intéressant,deux lignes vraiment?

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 17-04-07 à 00:15

Une idée pêut être même si je vois pas trop comment peut être ce pavage si je pars mettons  d'un des sommets de K et que je longe un premier rectangle suivant son côté de longueur entière,j'arrive au bord d'un nouveau rectangle et la encore je peux longer son côté de longueur entière etc...

Je sais pas si je suis clair

Bon en faisant comme ca je me disais que je pourrais arriver à un autre sommet(faudrait justifier quelque chose je pense...) ce qui me donnerait un côté à longueur entière sauf si j'arrive à un sommet opposé et la j'aurai L+l qui est entier.

En partant d'un sommet adjacent au premier et en faisant pareil soit j'arrive à un sommet adjacent et j'ai un coté entier,soit j'arrive au sommet opposé.

Mais la j'ai l'impression que les deux chemins que j'aurai fait se coupent donc je peux reprendre le tracé précédent et trouver un côté entier.

Je crois que c'est pas clair du tout

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une histoire de rectangles. 17-04-07 à 00:59

Bonsoir vendredi , bonsoir Cauchy ;
une preuve en plus de deux lignes quand même
Plaçons le rectangle K dans le plan \mathbb{R}^2 de telle sorte que ses côtés soient paralléles aux axes.
\fbox{*} Un rectangle élémentaire K_i est aussi un certain pavé [a,b]\times[c,d] de \mathbb{R}^2 tel que b-a ou d-c \in\mathbb{Z}.
\fbox{*} Par le théorème de fubini on a :
\fbox{\int\int_{K_i}e^{2i\pi x}e^{2i\pi y}dxdy=(\int_{a}^{b}e^{2i\pi x}dx)(\int_{c}^{d}e^{2i\pi y}dy)=\frac{1}{2i\pi}(e^{2i\pi b}-e^{2i\pi a})\frac{1}{2i\pi}(e^{2i\pi d}-e^{2i\pi c})\\=-\frac{e^{2i\pi(a+c)}}{4\pi^2}(e^{2i\pi(b-a)}-1)(e^{2i\pi(d-c)}-1)=0}.
\fbox{*} \fbox{\int\int_{K}e^{2i\pi x}e^{2i\pi y}dxdy=\Bigsum_{i=1}^{N}\int\int_{K_i}e^{2i\pi x}e^{2i\pi y}dxdy=0}
et comme K est lui même un pavé on conclut (sauf erreur)

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 17-04-07 à 01:01

Tiens ca part en analyse la,tu vois du Fubini la dedans

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une histoire de rectangles. 17-04-07 à 01:25

Eh oui Cauchy , ce problème a été résolu d'au moins 14 façons dont celle que j'ai donné.

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 17-04-07 à 01:27

Et beh 14 facons,mon ébauche de solution ressemble-t-elle à l'une d'elles

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Une histoire de rectangles. 17-04-07 à 01:32

Il doit sûrement y avoir une certaine ressemblance

Posté par vendredi (invité)re : Une histoire de rectangles 17-04-07 à 09:56

Citation :
Une idée pêut être même si je vois pas trop comment peut être ce pavage si je pars mettons  d'un des sommets de K et que je longe un premier rectangle suivant son côté de longueur entière,j'arrive au bord d'un nouveau rectangle et la encore je peux longer son côté de longueur entière etc...

Je sais pas si je suis clair

Bon en faisant comme ca je me disais que je pourrais arriver à un autre sommet(faudrait justifier quelque chose je pense...) ce qui me donnerait un côté à longueur entière sauf si j'arrive à un sommet opposé et la j'aurai L+l qui est entier.

En partant d'un sommet adjacent au premier et en faisant pareil soit j'arrive à un sommet adjacent et j'ai un coté entier,soit j'arrive au sommet opposé.

Mais la j'ai l'impression que les deux chemins que j'aurai fait se coupent donc je peux reprendre le tracé précédent et trouver un côté entier.

Je crois que c'est pas clair du tout


Bonjour !

Oui, il y a une preuve qui ressemble a la tienne. C'est la plus intuitive, je pense.
Tu peux même la faire marcher avec des rationnels au lieu des entiers... (alors que
la preuve avec Fourier n'a pas l'air d'être adaptable).
Mais attention: si il y a une infinité de rectangles, tu peux te faire enfermer
dans un point d'accumulation et ne jamais en sortir... :D
Alors que Fourier marche...

En voila une autre, qu'un enfant peut comprendre (dans le cas fini):

On place ce pavage sur un damier en noir et blanc dont chaque case est un carré
de côté 1/2.
On vérifie sans peine qu'un rectangle posséde un côté de longeur entière SSI
il recouvre autant de noir que de blanc.
On ajoute tout cela: il y a autant de noir que de blanc sur le grand rectangle !

J'attends qu'Elhor nous donne les 14 preuves !!! :)

Bonne journée

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 18-04-07 à 02:44

Bonjour,

oui moi aussi j'attend les preuves d'Elhor

En fait je comprend pas trop ta preuve je sais pas si c'est l'heure ou moi

Posté par vendredi (invité)re : Une histoire de rectangles 18-04-07 à 07:52


Salut Cauchy (matinal),

Si un rectangle a un cote de longueur entière k et l'autre non, il va
parcourier 2k cases du damiers dans cette direction. Mais dans l'autre
direction il ne recouvira qu'une certaine quantite  de noir et de blanc.
Fais un dessin: tu vois que la surface noire recouverte est égale à la surface blanche. (et réciproquement, surtout)

Tu fais pareil pour tous les petits rectangles: le grand recouvre donc lui
aussi autant de noir que de blanc. Il a donc un cote au moins de longueur
entiere (d'apres la reciproque).

A+

Posté par
Cauchyre : Une histoire de rectangles 19-04-07 à 01:35

Oui j'avais bien compris ca,mais dans mon esprit le pavage peut être assez farfelu je vois pas pourquoi forcément si j'ai un coté de longueur 1,il va recouvrir entierement deux cases,ca peut se chevaucher,enfin bref c'est toujours pas clair,je dois faire un blocage

Posté par vendredi (invité)re : Une histoire de rectangles 19-04-07 à 07:10


Salut Cauchy (nocturne),

Oui c'est vrai... je me plaçais sur le rectangle avec lequel on commence le pavage, en haut à gauche, par exemple ...
Mais ensuite, ça marche aussi, tout en se chevauchant, comme tu dis.
Calcule les surfaces noires et blanches, elles sont les mêmes. Justement
parcequ'un côté de longueur 1 (ou k entier) mets tout le monde à égalité d'office...

A+


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