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Niveau Maths sup
Une propriété en arithmétique
Posté par Milka3
Bonjour,
je cherche à comprendre pourquoi on a la proposition suivante :
Citation :
Si q et r sont deux nombres qui :
(1) se décomposent de la manière suivante :
en autorisant les coefficients à être nuls ;
(2) sont tels que
ne divise par 
;
alors il existe un nombre premier
vérifiant :
avec
et =pgcd(p,r')=1)
Si q et r sont deux nombres qui :
(1) se décomposent de la manière suivante :
en autorisant les coefficients à être nuls ;
(2) sont tels que
alors il existe un nombre premier
avec
?
Je fais tourner sur l'exemple suivante :
Je peux écrire :
Alors on peut écrire :
Et donc a=2 ; b=1 et p=2.
Cela semble fonctionner effectivement.
Mais j'aimerais comprendras d'où cela provient ?
Merci bcp.
Bonjour
Si tous les a_i étaient inférieurs aux b_i correspondant, q diviserait r. Donc il y en a au moins un qui est strictement supérieur au b_i correspondant.
Tu n'as plus qu'à poser p=p_i, a=a_i,b=b_i.
salut
(1) c'est plutôt : en autorisant les exposants à être nuls
(2) c'est plutôt : q ne divise pas r et réciproquement
je ne comprends pas ce que tu ne comprends pas ...
lafol @ 14-03-2020 à 15:33
Bonjour
Si tous les a_i étaient inférieurs aux b_i correspondant, q diviserait r. Donc il y en a au moins un qui est strictement supérieur au b_i correspondant.
Tu n'as plus qu'à poser p=p_i, a=a_i,b=b_i.
Bonjour
Si tous les a_i étaient inférieurs aux b_i correspondant, q diviserait r. Donc il y en a au moins un qui est strictement supérieur au b_i correspondant.
Tu n'as plus qu'à poser p=p_i, a=a_i,b=b_i.
Merci j'ai bien saisis.
Mais pourquoi avons-nous
Et donc le nombre premier est premier avec le nombre premier
? C'est ce que je dois comprendre ?
Parce qu'en fait, je comprends pourquoi est premier mais je ne vois pas pourquoi
l'est
dans cette histoire, , c'est l'un des nombres p1, p2, ... ps (en reprenant les notations du début de l'exercice)
Et (ou même
) , c'est le produit de tous les autres
Est-ce que ce point là est bien clair, je crois que non.
n'est donc pas premier, mais il est premier avec
Oui, je crois que ce point est clair.
C'est comme écrire et dire qu'il existe un nombre premier qui, prit avec sa puissance, soit premier avec le produit des autres si je puis m'exprimer ainsi.
Avec cet exemple, cela donne par exemple : avec
.
Ce que je questionne, c'est cette existence.
Mais je crois avoir trouvé quelque chose en cherchant du côté des valuations. Mais c'est délicat à comprendre.
En somme la question que je me pose c'est : pourquoi pour tout nombre premier une telle factorisation est possible ?
Je le fais avec un autre exemple : .
Je ne peux pas écrire car
.
Je peux écrire avec
.
Mais je peux aussi écrire avec
.
Il n'y a pas unicité.
Comment justifier qu'une telle écriture, non unique, est possible ?
Bonjour,
Tu es en train de te demander pourquoi tout nombre entier a une factorisation en nombres premiers?
Bonjour mokassin,
non, je ne crois pas que ce soit cela.
Si j'essaye de le formuler autrement, je me demande pourquoi si est un nombre entier, alors pourquoi dans sa décomposition en facteurs premiers, on peut factoriser par l'un des
de sorte qu'il soit premier avec le produit de tous les autres (pris avec leurs "puissances") ?
Oui, donc
mokassin @ 20-03-2020 à 11:56
Bonjour,
Tu es en train de te demander pourquoi tout nombre entier a une factorisation en nombres premiers?
Bonjour,
Tu es en train de te demander pourquoi tout nombre entier a une factorisation en nombres premiers?