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UNe question relative au niveau Terminale.

Posté par
lake
11-03-21 à 19:58

Bonsoir à tous,

L'origine de ce fil est ici : Equation différentielle.
Son exercice consistait à déterminer les solutions de l'équation différentielle y''+by'+cy=0 lorsque
 b^2>4c.
Élève curieuse (et probablement douée) elle m'a posé la question " et si b^2=4c qu'est-ce qui se passe ?"
La question a été résolue rapidement.
Je lui ai tendu une toute petite perche pour traiter le cas b^2<4c qu'elle n'a pas saisie. J'imagine qu'elle a du penser (à tort)  "s'il n'y a pas de solutions (réelles) à l'équation caractéristique, c'est que l'équation différentielle n'a pas de solutions".
Bref, je me suis penché, en anticipant la suite, sur une solution de niveau Terminale.
En résumant :

l?équation caractéristique a dans ce cas deux solutions complexes conjuguées du type :

r_1 =\alpha+i\,\beta
r_2 =\alpha-i\,\beta

c=\alpha^2+\beta^2 et b=-2\alpha

En posant y(x)=z(x)\,e^{\alpha\,x},
on arrive sans difficultés à l'équation différentielle :

  z''+\beta^2\,z=0

Et là, au niveau Terminale, ça coince. Je crois qu'il n'y a pas si longtemps, les terminales STI connaissaient (sans démonstration) :

il s'agit bien sûr des fonctions z définies par z(x)=A\,\cos\,\beta x+B\,\cos\,\beta x

D'où ma question :

Comment démontrer ce dernier résultat au niveau Terminale (où les fonctions réciproques des fonctions trigonométriques sont inconnues)?
Merci à toutes et à tous

** forum modifié **

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 20:02

Mince, j'ai cafouillé : je voulais poser la question dans le forum  "Espace Profs".
Désolé.

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 20:32

Une erreur :

  

Citation :
il s'agit bien sûr des fonctions z définies par z(x)=A\,\cos\,\beta x+B\,{\red \sin}\,\beta x

Merci à la modération

Posté par
carpediem
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 20:39

salut

je ne vois pas pourquoi tu parles de fonctions réciproques des fonctions trigonométriques ...

si on connait les complexes on raisonnes de la même façon :

les solutions de l'équation caractéristique z^2 +b^2 = 0 sont les complexes conjugués ib et -ib

et alors les solutions sont les fonctions y(x) = pe^{ibx} + qe^{-ibx} où p et q cette fois ci sont des complexes

pour revenir dans R on montre grace au formule d'Euler en prenant les scalaires complexes p = (w + w*)/2 et q = (w - w*)/2i que cos bx et sin bx engendrent le même espace ...

et qu'on tombe sur : les solutions dans R sont les fonctions y(x) = p cos bx + q sin bx avec p et q des réels

en espérant avoir répondu à ta demande ...



bien entendu cela nécessite d'avoir vu tout ce qu'il faut sur les complexes

PS : lel lien ne marche pas ...

Posté par
lafol Moderateur
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 20:43

bonsoir
lien réparé (une espace restée entre la balise ouvrante et l'url au lieu d'être devant la balise ouvrante)

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 20:52

Bonjour,
Je crois avoir trouvé quelque chose sans complexes :
Lemme 1 et corollaire 2.

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 21:01

Décidément, je ne suis pas doué (merci lapasifol)
Merci aussi carpediem,

  

Citation :
je ne vois pas pourquoi tu parles de fonctions réciproques des fonctions trigonométriques ...


  J'avais envisagé de montrer que u définie par u(x)=z'^2(x) +\beta^2z(x)^2 était une fonction constante. Un léger progrès en passant à une équation différentielle du premier ordre. Mais qui débouchait sur des dérivées de la forme \dfrac{C}{\sqrt{1-k^2x^2}}  --> des \arcsin inaccessibles en Terminale.

D'un point de vue calculatoire, ta solution marche bien sûr. Mais tout de même, le "saut" par l'intermédiaire des complexes n'est-il pas un peu olé olé en Terminale ?

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 21:04

Bonsoir Sylvieg,

Je regarde avec attention

Posté par
carpediem
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 21:39

lake : ha oui d'accord ... mais autrement plus compliqué effectivement et vraiment pas au programme en term contrairement aux complexes

pour ce qui est du passage au complexe pas vraiment dans le sens où on sait résoudre toute équation du second degré (enfin n'est pas au programme des STI)

et le passage au complexe pour résoudre un problème réel est un classique (enfin pas encore quand on "débute" les math en terminale)

mais c'est ainsi que je l'avais vu en term ... mais à l'époque on voyait aussi les espaces vectoriels donc surtout la notion de combinaison linéaire de façon explicite

on y revient d'ailleurs il me semble avec les combinaisons linéaires de vecteurs et ce dès la seconde même il me semble ...

car en fait tout découle de cette propriété vue en term dans l'espace avec les plans et vecteurs et en math expertes avec l'arithmétique mais guère en STI ...

merci à Sylvieg pour son lien très intéressant : c'est une façon de shunter le passage direct au complexe mais qui reste sous-jacent en cherchant avant tout la partie réelle des racines complexes de l'équation caractéristique par le changement de fonction y = z(x) exp (rx)

mais bon une fois avoir vu le principe du premier degré et "la" solution exp qu'on veut généraliser (ou du moins essayer) au second degré qu'on travaille dans les complexes (si on les a vu)  ou les réels c'est du kifkif au même ...

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 11-03-21 à 23:01

Bonsoir carpediem,

Je pense qu'il y a un problème de fond avec ta solution :
L'exercice mis en lien consiste à résoudre l'équation différentielle y''+by'+cy=0 dans le cas où b^2-4c>0
C'est à dire lorsque l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes. On parvient à nos fins avec ces deux racines réelles \alpha_1 et \alpha_2.

On traite maintenant le cas où b^2-4c<0, les deux racines étant complexes.

Toi tu dis : pas de problème, on reprend les résultats précédents avec ces racines complexes. Ça me parait un peu fort ...

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 06:16

Merci Sylvieg, c'est exactement ce que je cherchais

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 08:27

De rien

Posté par
lake
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 13:53

Juste une petite précision sur la page mise en lien par Sylvieg :

Elle provient d'un document écrit par Daniel Perrin; voici comment il débute :

Citation :
Résolution des équations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants.


Daniel PERRIN

Introduction.

L'objectif de ce texte est de donner un traitement “élémentaire” du sujet, i.e. qui soit à peu prés du niveau d'un  élève de terminale S. Cela conduit à privilégier un traitement qui n'utilise que des fonctions à valeurs réelles et à bannir la notion d'espace vectoriel.


Posté par
carpediem
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 17:25

lake @ 11-03-2021 à 23:01


On traite maintenant le cas où b^2-4c<0, les deux racines étant complexes.

Toi tu dis : pas de problème, on reprend les résultats précédents avec ces racines complexes. Ça me parait un peu fort ...
en quoi est-ce un peu fort ?

résoudre dans R c'est résoudre dans C ... en se restreignant à R : ceci est valable tout autant pour des équations que pour des équations différentielles ... en espérant que comme pour les scalaires on puisse revenir de C à R !

et on le peut en jouant sur les coefficients scalaires (complexes) puisque les formules d'Euler nous permettent de passer de cos x et sin x à exp (ix) et exp(-ix) et réciproquement ...

le prérequis étant donc bien sûr de connaitre les complexes !!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 18:41

Le prérequis est aussi de savoir ce que signifie dériver une fonction à valeur dans

Même si on l'évoque parfois quand la notation exponentielle est utilisée dans , cette notion n'est pas introduite avec rigueur en terminale.

Posté par
carpediem
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 20:09

il est évident que quand je parle d'espace vectoriel je m'adresse à toi pas à un élève

quand je parle du plan trucmuche comme ensemble des points M tels que AM est combinaison des vecteurs AB et AC je ne parle évidemment pas d'espace vectoriel ...

quand je parle de : si d divise m et n alors d divise toute combinaison linéaire de m et n je ne parle évidemment pas d'espace vectoriel ...

pourtant dans les deux cas tout comme les ED derrière cette notion c'est la notion d'espace vectoriel qui est derrière !!

de façon formelle  : truc (ax + by) = a * truc (x) + b * truc (y)

voir la remarque 1.5 et la fin du paragraphe 3 de   et la remarque 2.7 de où il parle bien de combinaison (linéaire) des solutions complexes

on peut se passer des complexes ... mais on peut choisir un chemin par les complexes tout à fait naturelle (comme on le fait pour la factorisation de polynome par exemple) tout à fait accessible en terminale ...

Sylvieg : je ne fait que dériver des fonctions réelles à valeurs réelles puis des combinaisons linéaires de ces fonctions mais cette fois en me permettant des scalaires complexes ... qui ont le même rôle qu'une constante comme dans la formule générique (ku)' = ku'


passer des solutions exp (ux) et exp (vx) où u et v sont réelles à exp (ux) et exp (vx) où u et v sont complexes quand on connait les complexes (seul prérequis) et qu'on comprend bien la notion de constante et de combinaison linéaire sans parler du tout d'espace vectoriel ...

c'est en tout cas un cheminement de niveau terminale ...

PS : ne pas oublier que les S ne voyaient même pas les équa dif en math alors qu'ils en manipulait en physique (les collègues d'ailleurs nous demandaient souvent ...)  et que les STI les voyaient (bon enfin ils pondaient/récitaient des réponses/solutions toutes faites du cours)

que ma proposition ne te satisfasse ou plaise pas c'est tout à fait ton droit mais tu ne peux pas la contester au niveau terminale quand on a vu l'ensemble des complexes de terminale ...

Posté par
carpediem
re : UNe question relative au niveau Terminale. 12-03-21 à 20:30

et la notion de changement de fonctions (en posant y(x) = z(x) exp (rx) ) est plus une astuce absolument pas naturelle que de continuer à poursuivre avec des complexes dans le cas où le discriminant est négatif pour voir ce qui se passe ...

il n'est que de voir simplement les pb de changement d'indice dans les sommes ou produits des math sup ...



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