Niveau Reprise d'études

Une remarque relative aux congruences

Posté par
Autodidacte33 24-07-21 à 21:01

Bonjour,

Je suis en train d'étudier le cours : "nombres complexes" (Niveau MPSI), l'auteur fait un petit rappel sur les congruences juste avant d'entamer la forme trigonométrique, je n'arrive pas à comprendre la dernière proposition qui en fait partie et qui est la suivante :

Citation :
Soit $m$ un réel strictement positif.
Si $I$ désigne un intervalle semi-ouvert arbitraire de longueur $m$ (comme par exemple $[0,m[$ ou encore $\displaystyle \left]-\frac{m}{2}, \frac{m}{2}\right]$ ) , alors pour tout réel $x$ , il existe un unique réel $r\in I$ tel que $x \equiv r [m]$

Pouvez-vous s'il vous plaît m'expliquer ce petit passage?
Je vous remercie d'avance.
Cordialement

Posté par re : Une remarque relative aux congruences 24-07-21 à 22:08

Bonjour,

C'est facile : tu peux "paver" $\R$ en translatant ton intervalle semi-ouvert. Par exemple avec $[0,m[$ :

$\ldots,[-2m,-m[,[-m,0[,[0,m[, [m,2m[,[2m,3m[,\ldots,[km,(k+1)m[,\ldots$

Prends un réel quelconque $x$ . Il se trouve dans un et un seul de ces intervalles translatés, disons $[km,(k+1)m[$ . En faisant la translation inverse, tu le ramènes dans $[0,m[$ et tu obtiens un unique réel $r$ de $[0,m[$ , vérifiant $r=x-km$

Tout ce qui compte, c'est que l'intervalle soit de longueur $m$ et qu'il soit ouvert d'un côté et fermé de l'autre, pour que les "pavés" s'emboîtent bien exactement.

Vu ?