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Unicité de l'écriture d'un entier en une base b
Posté par Fefe92390
Bonsoir,
En fait j'aurais besoin de votre aide pour une petite démonstration. Je vous énonce le problème :
"Soit n € N et b un entier strictement positif. Prouver qu'il existe un unique entier k et une unique suite (a0,…,ak) d'entiers tels que 0≤ai≤b pour tout 0≤i≤k et n=(ak).(b^k)+(ak-1).(b^(k-1))+…+a1b+a0.
Cette suite (a0,…,ak) est appelée écriture en base b de l'entier n."
Désolé pour l'écriture mais je ne sais pas mettre en indice. Il faut comprendre ici que l'entier k est en indice.
Donc en fait je bloque un peu. J'avais une petite idée en supposant qu'il y ait deux entiers k et k' et deux suites (a0,...,ak) et (b0,...,bk') mais cela ne m'amène pas à grand chose..
Est-ce que quelqu'un pourrait bien m'aider un peu s'il vous plaît ?
Merci d'avance =)
Bonjour.
Pour qu'il y ait unicité, il faut aussi que . (autrement, on peut continuer aussi loin qu'on veut, en mettant tous les coefficients suivants à 0 ...)
Montre d'abord que est unique : si
avec
et
,
, montre que la différence des deux sommes ne donne pas 0.
Ensuite, c'est par récurrence sur , toujours avec la même idée d'écrire deux décompositions, de faire la différence, et de montrer que les termes les plus "hauts" sont égaux.
Bonjour tous,
et tu as oublié ai <b au lieu de l'inégalité large.
Pour éviter la récurrence : Si tu as les deux écriture de Arkhnor, quel est le reste de ton nombre en effectuant la division euclidienne par b ?
Ensuite s'il existe un plus petit entier i tel que ai diffère de a'i ben conclu.
Merci lolo271
En fait je n'ai pas totalement résolu mon problème mais ton idée m'a donnée une piste et j'aimerais avoir ton avis :
Je considère deux suites (ai) et (qi) définie par : q0 (respectivement a0) est le quotient (respectivement le reste) de la division euclidienne de n par b et pour i
1,qi+1 et ai+1 sont les quotients et reste de la division euclidienne de qi par b.
Mon idée étant de montrer que qi est nul à partir d'un certain rang.
Mais je n'arrive pas à développer plus :s
Un peu d'aide serait la bienvenue =)
salut
la suite des quotients est strictement décroissante puisque qi+1 < qi/b
d'autre part si p = E[ln(n)/ln(b)]+1 alors n < bp donc les quotients sont nuls à partir d'un certain rang (p-1 exactement) ....
Salut carpediem,
Peux-tu expliquer un peu plus ton raisonnement s'il te plait parce que l'expression de ton p m'étonne un peu... Comment es-tu arrivé à cette expression et comment t'en déduis que n<bp ??
Merci =)