Bonsoir tout le monde , j'espère que vous allez bien ,
Ma question est la suivante :
Soit E un espace vectoriel dans lequel tout sous-espace vectoriel admet un supplémentaire. Soit F un sous-espace vectoriel propre de F (c'est-à-dire que F≠{0} et que F≠E). Démontrer que F admet au moins deux supplémentaires distincts.
Si on fixe un supplémentaire G de F dans E , est ce qu'on peut justifier l'existence d'un vecteur de E qui n'appartient ni à F ni à G ?
salut
ben non !!!
par définition si G et F sont supplémentaires alors tout vecteur x de E s'écrit de façon unique x = f + g avec f dans F et g dans G ....
pardon plus précisément !!!
oui si f <> 0 et g <> 0 alors x n'appartient ni à F ni à G
il suffit de faire un dessin dans le plan ...
Bonjour
dans le plan de la géométrie ordinaire, avec un repère (O,i,j) comme d'hab au lycée, considère E = l'espace vectoriel des vecteurs du plan, F = la droite vectorielle engendrée par le premier vecteur du repère (O,i,j), et G = la droite vectorielle engendrée par le deuxième vecteur de ce même repère.
que penses-tu de i+j ? ne peux-tu pas montrer que H = ev engendré par (i+j) est lui aussi supplémentaire de F ?
Bonjour
Bonjour à tous
Oui lafol, en théorie c'est un résultat vu en MPSI.
Pour le th de la base incomplète on a quand même besoin de l'axiome du choix cela dit... chose un peu sibylline au niveau sup.
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