C'est le premier exercice que mon professeur nous donne sur les fonctions auxiliaires (nous n'avons fait qu'un exemple...) et comme c'est noté, j'aimerais bien avoir une corrcetion...

Voici l'énoncé:

Soit la fonction f définie sur ]0;+[ par f(x) = x-6+(12x+9)/x²

   1) f' étant la fonction dérivée de f , calculer f'(x) sous la forme d'un quotient.
Justifier que f'(x) a le même signe que x^3-12x-18

   2) Soit g la fonction définie sur par g(x) = x^3-12x-18
       a) Etudier les variations de g et dresser son tableau des variations.
      
       b) Montrer que l'équation g(x)=0 possède une unique solution dans ]0;+[. Trouver une valeur approchée à 0.01 près de cette solution à l'aide de la calculatrice.
      
       c) En déduire le signe de g(x) sur

   3) En utilisant les questions précédentes, déduire les variations de la fonction f.


Et voici ce que je trouve:

1) Pour tout x de ]0;+[ :
f(x) = (x^3-6x²+12x+9)/x²

Pour tout x de ]0;+[:
f'(x)=(x^4-12x²-18x)/x^4
= (x^3-12x-18)/x^3

f'(x) a le même signe que x^3-12x-18 car x²>0 pour tout x>0.

2)a) Pour les variations de g je trouve 2 racines: x1=2 et x2= -2
Dans mon tableau, la fonction g est croissante sur [-;-2], décroissante sur [-2;2] et croissante sur [2;+]

b) Sur [0;x1] g est décroiissante, g(0) =-18, donc g(x)=0 est strictement négatif. Donc g(x1)<0 et g(x)=0 n'a pas de solution dans [0;x1].

Sur [x1;5] g est dérivable, g est strictement croissante, et 0 est compris entre g(x1)<0 et g(5)=47.
Donc g(x)=0 a une unique solution dans [x1;5].

Sur [5;+[ g(5)=47, g est strictement croissante. Donc g(x)=0 n'a pas de solution.

Comme g(4.05)<0 et g(4.06)>0, 4.05

c) g(x) est négatif sur [-;] et positif sur [;+


3) Pour tout x0, f'(x)= g(x)/x^3. Or, x^3>0 pour tout x >0, donc f'(x) est du signe de g(x) sur ]0;+[

par contre pour le tableau de variations j'ai un peu de mal, je trouve:
0 en valeur interdite, et pour le reste j'ai des doutes...

S'il vous plaît, quelqu'un pourrait me corriger???
Merci d'avance!