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Utiliser la convexité

Posté par
Mercator 27-02-23 à 12:37

Bonjour, pourriez-vous m'aider s'il vous plaît à faire cette exercice :
Le nombre de pains produits à l'heure dans une entreprise, en dizaine de milliers, en fonction du nombre n de travailleurs employés, en centaine d'employés, vérifie P(n) = 3/8 n^2 - 1/32 n^3.
Voici, dans un repère, la courbe représentative c de la fonction f définie sur [0;10] par :
f(x) = 3/8 x^2 - 1/32 x^3.
a) Conjecturer graphiquement le nombre  d'employés à partir duquel la croissance de production diminue .
b) Déterminer la fonction dérivée seconde de f et démontrer la conjecture précédente .
Merci d'avance de votre aide .

Utiliser la convexité

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 12:39

Pour commencer , la a) je pense que graphiquement le nombre d'employés à partir duquel la croissance de production diminue c'est 8. Mais je suis vraiment pas sûr . Corriger moi si c'est faux s'il vous plaît .

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 27-02-23 à 13:46

Bonjour

Vous avez donné le maximum de pains produits
ce n'est donc pas un ralentissement de la croissance

La deuxième question aurait dû vous guider.
On cherche à partir de combien d'employés la croissance diminue, c'est donc à partir de combien la pente des tangentes diminue.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 13:54

Oui désolé vous avez raison je pense que graphiquement c'est à partir de 9 employés que la croissance diminue

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 15:50

Bonjour,
Je réponds en l'absence hekla et m'éclipserai quand il reviendra.
La fonction représentée semble atteindre un maximum égal à 8 pour n = 8.
Mais il faut bien lire l'énoncé :

Citation :
nombre n de travailleurs employés, en centaine d'employés,

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 18:58

C'est à dire 900 employés ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 19:12

Moi aussi, je n'ai pas bien lu l'énoncé
Il ne s'agit pas de voir quand la production diminue.
Mais quand elle croit moins vite.
Dans ce but, en partant de l'origine du repère, il faut regarder quand la courbe semble cesser d'être convexe.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 27-02-23 à 23:57

Désolé du retard j'avais pas vu le message. La courbe semble cessait d'être convexe à 5 donc 500 employés ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 08:42

J'aurais plutôt dit 4 et 400. Mais bon...
En fait, rajouter du "environ" permet sans doute de retomber sur ses pieds au b).
Pour le b), qu'as-tu fait ?

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 08:55

Pour la b) f'(x) = 2x-3x^2
f''(x) = 2-6x après pour  démontrer la conjecture je ne sais pas comment on fait .

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 08:57

Il faut des parenthèses autour des fractions quand elles sont écrites "en ligne" :
f(x) = (3/8) x^2 - (1/32) x^3
Que sont devenus 3/8 et 1/32 dans ton calcul de dérivée ?

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:00

Ah il faut utiliser la formule u'v-uv'/v^2 ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:19

Non.
Comment ferais-tu pour dériver g avec g(x) = 5x2 - 7x3 ?

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:23

Je vais 5 x 2x -7 x 3x^2 =   10x - 21x^2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:24

Oui, tu fais pareil pour f.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:33

(3/8) x^2 = 3/8 x 2x = 6/8 x - (1/32) x^3 = 1/32 x 3x^2 = 3/32x ^2
f'(x) = 6/8x - 3/32x^2
Est ce que f'(x) est bon s'il vous plaît ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:38

Bonjour

Oui, mais il y a des simplifications à effectuer.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:47

Ah oui 6/8 = 2x3 / 2 /4
f'(x) = 3/4 x - 3/32x ^2

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:48

Est ce que c'est bon pour que je puisse faire f seconde ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 09:54

Votre écriture est un peu bizarre.

x est une lettre

\times est le symbole de la multiplication  On le trouve dans \Pi
à défaut *

\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4}

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:04

Ah oui c'est ça que je voulais écrire
f'(x) =3/8 x - 3/32x^2

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:10

Erreur de recopie.

f'(x)=\dfrac{3}{4}x-\dfrac{3}{32}x^2

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:25

Désolé c'est une erreur de frappe .
Et f seconde c'est :

f''(x) = 3/4 - 3/32 2x
f'´(x) = 3/4 - 6/32x
f''(x) = 3/4 - 3/16x
Est ce que c'est bon s'il vous plaît ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:34

Oui, mais on peut diviser par 2 directement \dfrac{2}{32}=\dfrac{1}{16} sans être obligé de passer par 3\times 2

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:36

J'ai pas compris, j'ai jamais vu ça pourquoi diviser ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 10:57

Comment cela ? pas vu la simplification de fracction  ?

Au lieu de \dfrac{3}{32}\times 2=\dfrac{3\times 2}{32}=\dfrac{3}{16} on calcule \dfrac{3}{32}\times 2=\dfrac{3}{\cancel{2}\times 16}\times \cancel{2}

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:03

Si mais du coup c'est 3/16 la réponse ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:12

C'est bien ce que vous avez écrit

f''(x)=\dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}x

J'indiquai simplement un chemin plus rapide pour le coefficient de x.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:15

Ok merci alors pour démontrer la conjecture est ce qu'on fait f''(x) <0

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:19

Oui, la courbe doit être en dessous de ses tangentes.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:25

f''(x) = 3/4 -3/16x >0
-3/16x>3/4
Mais après je ne sais pas comment faire

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:39

Vous aviez dit <0

1 réduction au même dénominateur 16

\dfrac{12}{16}-\dfrac{3}{16}x=\dfrac{12-3x}{16}

2 résolution de l'inéquation

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:46


3/4 - 3/16x <0
12/16 - 3/16x<0 donc ça c'est la réponse  qui démontre la conjecture ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:50

Non, il faut résoudre l'inéquation qui peut se ramener à 4-x<0

16 >0 on peut multiplier les deux membres par 16  on obtient alors

12-3x<0  on peut ensuite mettre 3 en facteur

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 11:57

Je suis désolé mais j'ai vraiment pas compris comment vous faites l'inéquation, s'il vous plaît réexpliquer moi

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:17

À résoudre \dfrac{3}{4}-\dfrac{3}{16}x<0
Façon brute
On regroupe les termes en x dans un membre, les termes constants dans un autre

-\dfrac{3}{16}x<-\dfrac{3}{4}

On multiplie les deux membres par l'inverse de -\dfrac{3}{16} soit -\dfrac{16}{3}

Comme le nombre est négatif, cela renverse le sens de l'inégalité.

x>-\dfrac{3}{4}\times \left(-\dfrac{16}{3}\right) et on simplifie

un peu moins brute

\dfrac{12-3x}{16}<0   en mettant \dfrac{3}{16} en facteur puis en divisant les deux membres par \dfrac{3}{16}

on obtient 4-x<0 d'où

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:23

Ah ok merciii beaucoup c'est beaucoup plus claire et donc on finis :
4-x<0
x<-4

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:26

Non, d'ailleurs, comment pouvez-vous avoir -400 employés ?

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:29

Alors c'est 4<x ?

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:33

Oui, ou x>4

conclusion

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:41

Ok merci beaucoup pour votre aide j'ai bien compris, vous êtes très gentille.

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:43

Donc l'exercice est fini la fonction est convexe lorsque f''(x) >0

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:50

Non, le nombre d'employés à partir duquel la croissance de production diminue est de 400 employés.

La  dérivée seconde est positive entre 0 et 4, donc la fonction est convexe sur [0~~;~4]
Elle est négative à partir de 4, donc la fonction est concave.

De rien   Pourquoi un féminin ?

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 12:53

Ah désolé c'est une faute de frappe « gentil »

Posté par
heklare : Utiliser la convexité 28-02-23 à 13:18

Bon après-midi

Posté par
Mercatorre : Utiliser la convexité 28-02-23 à 13:30

Mercii à vous aussi


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