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Niveau Master
Valeur actuelle et valeur acquise
Posté par helleonord
Bonjour à tous,
J'ai un exercice de comptabilité à faire, qui porte sur la valeur actuelle et acquise.
Voici l'énoncé:
"Le vendeur d'un équipement vous fait les offres suivantes:
a) Prix au comptant, 48 000€,
b) 18 000€ payables au comptant, 50 000€ dans 4 ans,
c) 10 annuités de 9000€, la 1ère payable immédiatement,
d) 10 annuités de 8500€, la 1ère payable dans un an,
Quelle est l'offre la plus avantageuse, pour un taux d'intérêt de 5% ?"
J'ai calculé:
a) La somme totale à payer reste 48 000€
b) La somme totale à payer est de : 18 000 +50000*(1,05)4, soit 78775,31 €
c) La somme totale à payer est de : 9000+ 9000*(1,05)-1+9000*(1,05)-2+...+9000*(1,05)^-9, soit 72 970,40 €
d) La somme totale à payer est de : 8500*(1,05)-1+...+8500*(1,05)-10, soit 65 634,75 €
Donc la solution la plus avantageuse serait pour moi la a).
Pourriez-vous me dire si tous les calculs que j'ai effectués sont corrects ?
Merci d'avance!
Bonjour,
d'accord, merci pour votre réponse.
On a donc:
18000+50000/1,054=59135,12 €
Mais d'où vient la formule pour actualiser ?
Et j'ai du mal à comprendre, pourquoi la valeur finale diminue, alors que le taux d'intérêt est de 5% et devrait donc augmenter ?
Bonjour à tous
hellenonord
1) Pour "essayer" de vous donner une réponse satisfaisante à quel niveau d'études de master on vous demande de résoudre ce problème de "comptabilité" concernant ces mathématiques financières.
2) Quelle définition vous donnez à la notion de "valeur actuelle" ?
3) Quelle définition vous donnez à la notion de "valeur acquise" ?
4) Dans la théorie dite des "intérêts composés", quelle est la relation qui existe entre la valeur actuelle et la valeur acquise ?
5) Quand on doit faire le choix entre plusieurs modalités d'un règlement quelle est la notion qui est conseillée de déterminer ?
A vous lire
I - PROPOSITION a) Prix au comptant 48 000€
Valeur actuelle : 48 000,00 euros
Ce montant correspond à celui trouvé par helleonord.
II - PROPOSITION b) 18 000€ payables au comptant, 50 000€ dans 4 ans,
1) valeur actuelle des 18 000,00 = 18 000,00
b) valeur actuelle des 50 000,00
50 000,00 * 1,05 ¯⁴ =
50 000,00 * 0,822702475 =
41135,12374
c) Total des valeurs actuelles
18 000,00 + 41 135,12 = 59 135,12 euros
Ce montant correspond à celui trouvé par helleonord.
III - PROPOSITION c) 10 annuités de 9000€, la 1ère payable immédiatement,
A) CALCUL ETAPES PAR ETAPES
Annuité 1 : valeur actuelle : 9 000,00
Annuité 2 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯¹ = 9 000,00 * 0,9523810 = 8 571,43
Annuité 3 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯² = 9 000,00 * 0,9070295 = 8 163,27
Annuité 4 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯³ = 9 000,00 * 0,8638376 = 7 774,54
Annuité 5 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁴ = 9 000,00 * 0,8227025 = 7 404,32
Annuité 6 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁵= 9 000,00 * 0,7835262 = 7 051,74
Annuité 7 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁶ = 9 000,00 * 0,7462154 = 6 715,94
Annuité 8 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁷ = 9 000,00 * 0,7106813 = 6 396,13
Annuité 9 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁸ = 9 000,00 * 0,6768394 = 6 091,55
Annuité 10 : valeur actuelle : 9 000,00 * 1,05¯⁹ = 9 000,00 * 0,6446089 = 5 801,48
Total des valeurs actuelles : 72 970,40
B) UTLISATION DE LA FORMULE
1) La formule
La valeur actuelle d'une suite de versements constants, le premier versement payable immédiatement
est donnée par la formule :
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ] * (1+i)
avec :
V(a) = valeur actuelle
a= montant des versements constants
i = taux d'intérêt périodique
n = nombre de périodes
2) Application numérique
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ] * (1+i)
avec :
V(a) = valeur actuelle
a= montant des versements constants = 9000
i = taux d'intérêt périodique = 5 % soit 0,05 pour 1 par an
n = nombre de périodes = 10
1+i = 1,05
V(a) = 9000 * [ ( 1 - 1,05 ¯¹⁰ ) / 0,05 ] * 1,05
V(a) = 9000 * [ 1 - 0,613913254 ) / 0,05 ] * 1,05
V(a) = 9000 * [ 0,386086746 / 0,05 ] * 1,05
V(a) = 9000 * 7,721734929 * 1,05
V(a) = 69495,61436 * 1,05
V(a) = 72970,39508
V(a) = 72 970,40
Ce montant correspond à celui trouvé par helleonord.
IV - PROPOSITION d) 10 annuités de 8500€, la 1ère payable dans un an,
A) CALCUL ETAPES PAR ETAPES
Annuité 1 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯¹ = 8 500,00 * 0,95238095 = 8 095,24
Annuité 2 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯² = 8 500,00 * 0,90702948 = 7 709,75
Annuité 3 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯³ = 8 500,00 * 0,86383760 = 7 342,62
Annuité 4 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁴ = 8 500,00 * 0,82270247 = 6 992,97
Annuité 5 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁵= 8 500,00 * 0,78352617 = 6 659,97
Annuité 6 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁶ = 8 500,00 * 0,74621540 = 6 342,83
Annuité 7 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁷ = 8 500,00 * 0,71068133 = 6 040,79
Annuité 8 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁸ = 8 500,00 * 0,67683936 = 5 753,13
Annuité 9 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁹ = 8 500,00 * 0,64460892 = 5 479,18
Annuité 10 : valeur actuelle : 8 500,00 * 1,05¯⁹ = 8 500,00 * 0,61391325 = 5 218,26
Total des valeurs actuelles : 65 634,75
B) UTLISATION DE LA FORMULE
1) La formule
La valeur actuelle d'une suite de versements constants, le premier versement payable un an après
est donnée par la formule :
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ]
avec :
V(a) = valeur actuelle
a= montant des versements constants
i = taux d'intérêt périodique
n = nombre de périodes
2) Application numérique
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ]
avec :
V(a) = valeur actuelle
a= montant des versements constants = 8500
i = taux d'intérêt périodique = 5 % soit 0,05 pour 1 par an
n = nombre de périodes = 10
1+i = 1,05
V(a) = 8 500,00 * [ ( 1 - 1,05 ¯¹⁰ ) / 0,05 ]
V(a) = 8 500,00 * [ 1 - 0,613913254 ) / 0,05 ]
V(a) = 8 500,00 * [ 0,386086746 / 0,05 ]
V(a) = 8 500,00 * 7,721734929
V(a) = 65634,7469 * 0
V(a) = 65 634,75
Ce montant correspond à celui trouvé par helleonord.
V - CE QU'IL FAUT RETENIR
On a étudié deux propositions :
1) La troisième proposition :
"10 annuités de 9000€, la 1ère payable immédiatement"
2) La quatrième proposition :
"10 annuités de 8500€, la 1ère payable dans un an"
3) Ces deux propositions, quand on s'en tient uniquement à la date du premier paiement diffèrent UNIQUEMENT d'une période.
4) En mathématiques financières on étudie principalement la théorie dite "de la première annuité payable en fin de période".
Il existe "énormement" de formules et de tables financières (quand les calculatrices étaient au stade de minerai) pour résoudre ce type de problème.
En particulier on a la formule de calcul de la valeur actuelle (table IV des tables financières) qui est la suivante :
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ]
5) Pour résoudre les problèmes comportant "la première annuité payable en début de période" il faut calculer la valeur actuelle en début de période, en appliquant à la formule du point 4) ci-dessus, le coefficient suivant égal à :
"(1+i)" (table I des tables financières)
Et, dans ce cas, on a la formule de calcul de la valeur actuelle qui est la suivante :
V(a) = a * [ 1 - ( 1 + i ) ¯ⁿ / i ] * (1+i)
6) A TITRE DE VERIFICATION
Je laisse le lecteur faire la vérification suivante :
a) on prend pour les 2 hypothèses le même montant identique pour les annuités :
* soit 8 500 euros
* soit 9 000 euros
b) et on verifie si les différents montants trouvés diffèrent d'un coefficient multiplicateur de (1+i) égal dans cet énoncé à 1,05.