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VALEUR APPROCHEE D UNE INTEGRALE -- au secours!
Ne connaissant pas de primitive de la fonction f définie sur [0,1/2] par f(x)= exp(-x) / (1-x) , on se propose de calculer une valeur approchée de l'intégrale I= S(de 0 à 1/2) f(x)dx
1. a) En étudiant les variations de la fonction f, démontrer que pr tout nombre réel x de [0,1/2], 1 < f(x) < 2/V(e)
b) En déduire que
1/24 < S(de 0 à 1/2) x²f(x)dx < 1/(12V(e))
2. a) Démontrer que pour tout réel x de [0,1/2]
1/(1-x) = 1 + x + (x²/(1-x))
b) en déduire que
I= S (de 0 à 1/2) (1+x)exp(-x) dx +
S (de 0 à 1/2) x²f(x)dx
c) Calculer J= S(de 0 à 1/2) (1+x)exp(-x) dx
d) déduire une valeur approchée à 10^-2 près de I.
J'ai fait les questions 1a) et 2b), mais je bloque sur les autres.
Dans la 1b), j'ai réussi à prouver que 1/24 < S(de 0 à 1/2) x²f(x)dx
mais je n'arrive pas à montrer S(de 0 à 1/2) x²f(x)dx < 1/(12V(e)) ...
Je pense utiliser une intégrations par parties pour la question 2c) mais je me retrouve avec une intégrale dont je n'arrive pas à calculer la primitive...
MERCI!!
salut
1b)
tu as pr tout nombre réel x de [0,1/2], 1 =< f(x) =< 2/V(e)
comme x² >=0
on a x²=< x²*f(x)=< 2*x²/V(e)
maintenant "on passe" aux integrales :
S(de 0 a 1/2) x².dx=<S(de 0 a 1/2) x²*f(x).dx =< S(de 0 a 1/2) 2*x²/V(e)
ce qui fait qu'on a :
(1/3)*(1/8)=<S(de 0 a 1/2) x²*f(x).dx =< [2/V(e)]*(1/8)*(1/3)
donc 1/24=<S(de 0 a 1/2) x²*f(x).dx =<1/[12*V(e)]
2a) on calcule 1/(1-x) -x²/(1-x) = [1-x²]/(1-x)
or 1-x²=(1-x)*(1+x)
x est ici dans [0,1/2] donc different de 1
on a donc 1/(1-x) -x²/(1-x) = [1-x²]/(1-x) = 1 + x
ce qui fait 1/(1-x) = 1 + x + (x²/(1-x))
c) J= S(de 0 à 1/2) (1+x)exp(-x) dx
Integration par parties :
u(x)=1+x => u'(x)=1
v'(x)=exp(-x) <= v(x)=-exp(-x)
donc J=-(3/2)*exp(-1/2)+1 + S(de 0 à 1/2) exp(-x).dx
donc J=-(3/2)*exp(-1/2)+1 -exp(-1/2) + 1
J=-5/[2*V(e)] + 2
la d) est la synthese de toutes les autres questions :
le but est de calculer :
I= S(de 0 à 1/2) f(x)dx
d'apres 2a)
1/(1-x) = 1 + x + (x²/(1-x))
en multipliant par exp(-x)
f(x)= (1+x)*exp(-x) +x²*f(x)
ce qui qu'on a I= J + S(0 a 1/2) x²*f(x).dx
avec l'encadrement de S(0 a 1/2) x²*f(x).dx ( 1/(12V(e))-1/24=< 8,9*10^-3)
et la valeur precise de J obtenue en 2c) on devrait arriver a encadrer a=<I=<b avec b-a=<10^-2.
a+
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