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Valeur exacte de sin 15°
Bonjour, dans un DM, je bloque sur un exercice qui est le suivant:
On doit à Ptolémée ce calcul de la valeur exacte de sin 15°. A partir d'un cercle C de rayon 1, il réalisait la figure ci contre. On vous donne dans l'ordre les étapes de sa démonstration:
1)sin 15°=BI;
2)BD²+DA²=AB²;
3)BD=1/2;
4)DA=1-
3/2
5)BA²=2-3;
6)BA=2BI;
7)Sin 15° = 1/2 2 - 3;
Justifier chacune de ces étapes.
Merci d'avance
Bonjour. Qu'est-ce qu'il y a à justifier ?... que les calculs sont exacts ?...
Bien sûr, si l'on écrit correctement :
sin(15°) = Racine de (2 - V3) / 2
et si l'on connaîtl'égalité de Pythagore, ainsi que la valeur de sinus et cosinus de 30 degrés ...
C'est-à-dire que , si tu connais ... ce que je viens de signaler, la vérification de ces calculs est immédiate.
On n'a rien à demader en plus ...
Egalité de pythagore dans le triangle ODC:
OC²=OD²+DC²
valeur de sinus 30°=1/2
valeur de cosinus 30°= 3/2
OC² n'est pas demandé ici.
Tu n'as pas vu la ligne 2 de la démonstration ?... C'est AB² dont on a besoin...
Je te prie de faire le calcul toi-même, sur ton brouillon, en meme temps que tu lis celà ... sinon tu diras encore : je ne comprends rien du tout ...
BD = sin(30°) = 1/2
DA = OA - OD = 1 - cos(30°) = 1 - V3/2
BD² + DA² = (1/2)² + ( 1 - V3/2)²
= 1/4 + (1 - V3 + 3/4)
= 1 + 1 - V3
Donc : AB² = BD² + DA² = 2 - V3
et tu termines la démonstration...
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